funzioni e funzioni inverse

[sweet swallow]

eccomi qua con i soliti miei problemi a cui sottoporvi...

verificare che la funzione
f : x -> 2x+2
è una corrispondenza biunivoca tra R e R, ma non tra Z e Z.
detta y=g(x) l'espressione analitica della funzione inversa, si risolva l'equazione $[g(x)] ^4$=1

risultati x=0 V x=4

allora io per quanto riguarda la corrispondenza biunivoca tra R e R ci sono, ma tra Z e Z come si fa?

poi dico bene se la funzione inversa la scrivo y=$(x-2)/2$
e ora, se questa è la funzione inversa, devo fare $[(x-2)/2]^4$ =1?

grazie in anticipo

[Giusepperoma]

poi dico bene se la funzione inversa la scrivo y=$(x-2)/2$
e ora, se questa è la funzione inversa, devo fare $[(x-2)/2]^4$ =1?

si, il che equivale a risolvere

x-2 = 2 --> x=4

e

x-2 = -2 --> x=0

ci sei?

[Nidhogg]

Non c'è bisogno di fare l'inversa!

In R la f è sia iniettiva sia suriettiva e quindi biettiva.

In Z la f non è suriettiva.

[sweet swallow]

poi dico bene se la funzione inversa la scrivo y=$(x-2)/2$
e ora, se questa è la funzione inversa, devo fare $[(x-2)/2]^4$ =1?

si, il che equivale a risolvere

x-2 = 2 --> x=4

e

x-2 = -2 --> x=0

ci sei?

non proprio...
x-2=2 --> x=4 ok,
ma poi perchè
x-2=-2 -->x=0?

[Giusepperoma]

perche' se una qurta potenza e' uguale ad 1, significa che la base e' 1 o -1

nel nostro caso

(x-2)/2 = -1

x-2 = -2

x = 0

torna ora?

[sweet swallow]

torna torna...
grazie

[sweet swallow]

non ho capito bene cosa ha detto leonardo...
me lo spiegate?

[sweet swallow]

continuo a non capire come faccio a dire che non è biettiva tra Z e Z...
potete aiutarmi?

grazie.

[Nidhogg]

continuo a non capire come faccio a dire che non è biettiva tra Z e Z...
potete aiutarmi?

grazie.

Codice:

$f : ZZ rarr ZZ$
  $x rarr 2x+2$


Per essere f biettiva in $ZZ$, deve essere sia iniettiva che suriettiva.

Per essere f iniettiva deve valere: $AA x,y in ZZ f(x)=f(y) rArr x=y$, quindi $AA x,y in ZZ 2x+2=2y+2 rArr x=y$, quindi $AA x,y in ZZ 2x=2y rArr x=y$, quindi $AA x,y in ZZ x=y rArr x=y$. Quindi f è iniettiva.

Ora per essere f suriettiva deve valere: $AA b in ZZ, EE a in ZZ : f(a)=b$, quindi $AA b in ZZ, EE a in ZZ : 2a+2=b$, quindi $AA b in ZZ, EE a in ZZ : a=(b-2)/2$. Questo non è sempre verificato per ogni b, infatti per $b=3$, si ha $a=1/2$, che non appartiene a $ZZ$. Quindi la funzione f non è suriettiva e quindi non è biettiva.

Spero di essere stato chiaro.

Ciao!

[sweet swallow]

ok, grazie ho capito