problema similitudine

[marraenza]

Si consideri un triangolo isoscele ABC di base BC=2a e lato AB=3a. Determinare un punto P su lato AC in modo che, detta H la sua proiezione su BC, si abbia PC^2+BH^2=4a^2. In corrispondenza del punto P che è la soluzione del problema si calcoli la misura di BP.

[Bruno]

Sappiamo che:

PC:(3a) = HC:a

ossia:

PC = 3·HC.

Sappiamo anche, come indicato nel testo, che:

PC²+BH² = 4a²

ossia:

9·HC²+(2a-HC)² = 4a²

che porta a:

HC = (2/5)a,
PC = 3·HC = (6/5)a,
BH = 2a-HC = (8/5)a.

Il punto P, pertanto, si trova a (9/5)·a dal vertice A e a (6/5)·a dal vertice C.
Percorrendo il perimetro, inoltre, il punto H ha la stessa distanza dal punto P
e dal vertice B.
Indicando con Rq{m} la radice quadrata di m, la distanza del vertice A da BC
è Rq{(3a)²-a²} = 2Rq{2}a, mentre la distanza di P dallo stesso lato si ottiene
facilmente per similitudine:

PH:(2Rq{2}a) = [(2/5)a]:a,

cioè:

PH = (4/5)Rq{2}a.

La misura di PB, dunque, è:

Rq{PH²+BH²} = (4/5)Rq{6}a.

PC corrisponde ai 2/5 del lato AC ed esiste questo stesso rapporto fra l'area
del triangolo PBC e quella del triangolo ABC.

Sempre che non abbia scambiato l'otto per il diciotto...

[marraenza]

c'è qualcosa che non riesco a comprendere dell'argomento perchè non mi escono i risultati di questi altri problemi:
1) nel triangolo ABC i lati AB BC AC misurano rispettivamente 5a, 7a, 4a. Determinare sul lato AB un punto D tale che conducendo la corda DE parallela ad AC e la corda DF parallela a BC il parallelogramma DECF risulti un rombo.
2) i cateti AB e BC del triangolo retangolo ABC sono rispettivamente 12 cm e 16 cm. Determinare un punto D sul cateto AB in modo che sia verificata la relazione seguente:
(CE^2-DE^2)/((EF*AD)-(AE*DE)) =7 essendo la E proiezione ortogonale di D sull'ipotenusa AC e F la proiezione di E sul cateto BC.
...aiuto!!!? è urgente

[Bruno]

Non vorrei risolverti puntualmente il problema, Enza, ma cercherò
invece di spiegarti come procederei al tuo posto e perché.
Spero di riuscirci, anche se il tempo è poco.
Il triangolo della prima questione potrebbe essere questo (clicca
sull'immagine):



Conviene sempre partire da una figura leggibile per capirsi meglio.
Guardando la figura, riconosciamo che i triangoli ADF e DBE sono simili,
dal momento che abbiamo detto che il segmento DF è parallelo a BC
e DE è parallelo ad AC.
Posso quindi scegliere di confrontare uno di questi due triangoli
interni con il triangolo ABC. Poiché di ABC conosco i lati, immagino
che attraverso una proporzione mi sia possibile isolare quella "x",
esprimendola per mezzo dei valori noti. L'obiettivo, pertanto, è quello
di sfruttare i dati del problema e le proprietà delle figure, le relazioni
che legano le une alle altre, per determinare i valori incogniti.
Giusto per fare un esempio, decido di mettere a confronto i triangoli
ABC e ADF e scrivo:

AC : AF = CB : FD

ossia:

4a : (4a-x) = 7a : x

da cui ricavo:

x = (28/11)a.

Naturalmente, con questo valore posso trovare anche EB.
Se tu volessi verificare la correttezza di tale risultato, Enza,
potresti ripetere il procedimento confrontando i triangoli DBE
e ABC.
Per sapere qual è la misura di AD (oppure DB), cioè la posizione
del punto D rispetto agli estremi della base del triangolo, ragiono
come sopra e così scopro che:

AD = (20/11)a,

ma lascio a te i calcoli.

Riguardo al secondo problema, purtroppo devo andare... ma posso
farti notare (anche se forse l'avrai già visto), che i triangoli ADE e
ABC sono simili (perché?) ed EFC è simile a entrambi.
Penso che il problema ti dia molti elementi su cui puoi lavorare
per isolare le tue incognite, basandoti anche sulle cose che ti ho
detto finora.

Scusami se non sono stato sufficientemente chiaro.

Ciao

[marraenza]

chiedo troppo se mi aiuti nei passaggi???Grazie