Problemi di trigonometria

[Lucrezio]

Giusto!
Allora: $gamma = 180°- 53° = 127° -> a=8° -> sin alpha = 0,14$.
Teorema dei seni : $bar(BM)=35*0,14*2/sqrt(2)=13,9 -> A_(ABC)=194$
Grazie mille!

[Lucrezio]

Altro problema...

Un triangolo LMN è inscritto in una circonferenza di raggio 5. La lunghezza del lato LM è $5sqrt(3)$. Determina l0ampiezza dell'angolo MLN in modo che risulti valida la relazione:
$bar(LN)^2 - bar(MN)^2 = 25sqrt(3)$.

Allora, pongo $MLN=x$.
I limiti di variabilità, secondo me, sono $0<x<180$. L'$x=0$ non lo accetto e ok, ma l'$x=180°$, posso accettarlo o no? non riesco a capire cosa verrebbe fuori... un triangolo degenere?

Passiamo alla risoluzione del problema.
Per il teorema della corda, $bar(MN)=10sinx$.
Sempre per il teorema della corda, posto $alpha=LNM$, $bar(LM)=5sqrt(3)=10sin alpha -> alpha = 60° vv 120°$.

1) Sia $alpha = 60°$:
$LMN= 180°-60°-x = 120°-x$.
Teorema dei seni: $5sqrt(3)/(60°)=(10sinx)/x = bar(LN)/(120°-x) -> bar(LN)=(5sqrt(3)(120°-x))/(60°)=10sqrt(3)-5sqrt(3)x$.
La relazione diventa: $(10sqrt(3)-5sqrt(3)x)^2 - 100 sin ^2 x = 25sqrt(3) --> 300 + 75x^2 - 300x-100sin^2 x=25sqrt(3)$.
E' giusta? possibile che debba risolvere un'equazione del genere? Dovrei utilizzare il metodo grafico, ma ci metterei veramente tre ore!

[@melia]

Sicuro di aver applicato correttamente il teorema dei seni? Forse il teorema si chiama così perché usa i seni degli angoli, non la loro misura.

[vittorino70]

Vedo una terribile confusione di simboli...Come prima ipotesi suppongo che N si trovi sull'arco maggiore LM. Dalla relazione del problema segue che \(\displaystyle LN>MN \) e di conseguenza il vertice N può variare solo sull'arco EM ,dove E è il punto medio dell'arco (maggiore) LM.Pertanto risulta \(\displaystyle 0°<x<60° \)
Per il teorema della corda hai:
\(\displaystyle LN=10\sin(60°+x),MN=10\sin x \)
In tal modo,con qualche semplificazione , la relazione diventa :
\(\displaystyle \sin^2(60°+x)-\sin^2x=\frac{\sqrt3}{4} \)
Oppure:
\(\displaystyle [\sin(60+x)-\sin x][\sin(60°+x)+\sin x]=\frac{\sqrt 3}{4} \)
E applicando le prostaferesi :
\(\displaystyle \cos(x+30°)\sin(x+30°)=\frac{1}{4} \)
Ovvero :
\(\displaystyle \sin(2x+60°)=\frac{1}{2} \)
Pertanto deve essere :
\(\displaystyle 2x+60°=30° \) che non dà soluzioni accettabili
oppure:
\(\displaystyle 2x+60°=150° \) che dà la soluzione accettabile \(\displaystyle x=45°=\frac{\pi}{4} \)
Se si suppone N posto " sotto " la corda LM , cioé sull'arco minore LM,allora si trova \(\displaystyle x=15°=\frac{\pi}{12} \)
In questo caso puoi fare tu i calcoli in analogia con quelli precedenti...

[Lucrezio]

Oddio è vero @melia! Ho il cervello completamente fuso...
Comunque grazie ad entrambi, adesso ricontrollo il problema.
Posso chiedervi come fate per postare le figure dei problemi?

[Lucrezio]

Ho un dubbio su una cosa: risolvendo la risolvente in seno e coseno, e quindi in tangente, mi escono due soluzioni: 45° e -15°! Che ci faccio con quel meno?

[Lucrezio]

Nuovo problema:
In un settore circolare AOB di raggio r e di ampiezza uguale a 90° traccia un raggio OP. Considera la proiezione ortogonale D di P sul raggio B e il punto medio C del raggio OA. Determina l'angolo AOP sapendo che $PC^2+PD^2=11/10r^2$.
Allora, andando direttamente alla soluzione del problema:
$PD=POcosx= rcosx$
Per Carnot $PC=rsqrt(5/4-cosx)$

La relazione diventa: $5/4r^2 = 11/10 r^2$, chiaramente impossibile...cos'ho sbagliato?:(

[giammaria]

Hai dimenticato un quadrato: la relazione è $r^2(5/4-cos x)+r^2cos^2 x=11/10 r^2$. Però, salvo miei errori, le sue soluzioni sono entrambe non accettabili: una perché maggiore di uno e l'altra perché negativa e quindi corrispondente ad un angolo ottuso.

[chiaraotta]

Da
$r^2(5/4-cosx)+r^2cos^2x=11/10 r^2$
mi sembra che risulti
$cos^2x-cosx+3/20=0$
con
$0<=x<=pi/2$
e quindi
$0<=cosx<=1$.
L'equazione ha soluzioni
$cosx_(1, 2)=1/2+-sqrt(10)/10->cosx_1~=0.1838, cosx_2 ~= 0.8162$.
Ambedue sono comprese tra $0$ e $1$ e quindi sono accettabili.

[Lucrezio]

Ho capito, grazie mille!!!