Il quadrlatero

[WonderP]

Inserisco la risposta inviatami da <b>dragouno</b>

Sono ragioniere e, quindi, non ho studiato trigonometria. Inoltre, al momento, non posseggo compasso e goniometro, ma solo una
riga e una squadra, peraltro alquanto vecchie e malandate. Poichè il problema del quadrilatero mi ha sùbito intrigato ed appassionato,
ho cercato inutilmente di seguire e capire i ragionamenti e le procedure proposti ed illustrati sul questo forum. Impossibilitato, quindi, dal punto di vista strettamente matematico, dopo alcuni giorni di 'ponzamento' ho tentato di risolverlo empiricamente, partendo da premesse logiche ed intuitive, con l'ausilio delle cognizioni matematiche e geometriche di mia dotazione. Pervenendo a questa soluzione:

PREMESSE:
A) Dovendo ottenere la 'massima' superficie possibile, i due angoli formati dalla connessione dei tre lati noti, devono essere ottusi. Dal che consegue che il lato 'ignoto' è maggiore del più lungo di quelli noti.
B)Di tutti i quadrilateri convessi, quello inscrittibile in un cerchio ha l’area massima. (*) Dal che consegue che il lato ignoto coincide con il diametro del cerchio circoscrivente.
(*) Tale mia premessa è stata poi confermata, quando già avevo ultimato il lavoro e dovevo metterlo in "bella" (specie per le immagini illustrative), dalla "formula di Brahmagupta", citata in uno degli ultimi posts.
C) Per un teorema di cui non ricordo il nome, "da qualsiasi estremità del diametro di un cerchio si tracci una corda e l'estremità di questa sia congiunta all'altra estremità del diametro stesso, l'angolo compreso è sempre retto, quale che sia la lunghezza della prima corda tracciata".
D) Le possibili sequenze, in senso antiorario, dei tre lati noti sono: a-b-c, b-a-c, e a-c-b (le altre combinazioni sono solo inversioni o riflessioni delle predette. E' da notare, peraltro che le prime due sequenze (pur essendo figurativamente diverse) sono, in pratica, equivalenti.

ATTUAZIONE PRATICA:

NOTA In ognuna delle figure, ho denominato, in ordine di grandezza lineare e in senso 'antiorario', i tre lati noti come "a", "b", "c", e quello
ignoto (pari al diametro del cerchio) come "d". I quattro angoli sono denominati A-B-C-D e le diagonali d1 e d2.

Ho preso un foglio di carta quadrettata (ogni quadretto = 1 mq.) ed ho tracciato una linea retta orizzontale che costituisse il percorso del diametro del cerchio e, quindi, del lato ignoto, la cui lunghezza era la misura da trovare. Poi ho preso altri due fogli di carta quadrettata, che mi consentivano di disporre sia dei loro angoli retti che di effettuare misurazioni. Ho disposto i due fogli, con gli angoli retti disposti verso il basso, posizionandoli rispettivamente all'estrema sinistra e all'estrema destra del percorso di cui sopra. Faccio l'esempio della figura I),in cui la sequenza dei tre lati noti è "a-b-c":
- sul lato sinistro del foglio di sinistra ho marcato il punto alla distanza di 10 quadratini (m. 10) dal vertice retto in basso
- sul lato destro del foglio di destra ho marcato il punto alla distanza di 30 quadratini (m.30) dal vertice retto in basso
- ho fatto coincidere sia il punto di sinistra che quello di destra con la retta orizzontale e poi ho gradatamente avvicinato fra di loro i due fogli, facendo sì che i punti marcati scorressero sulla citata linea e variando i due angoli A e D opportunamente fin quando fra i due vertici la distanza in linea retta non coincidesse con 20 quadretti (pari a m.20, lunghezza del lato b.

NOTA: La procedura sembra complicata (almeno a spiegarla), tuttavia è facilitata dal fatto che il bordo del lato destro del foglio di sinistra deve sovrapporsi al punto marcato sul bordo del lato destro, e viceversa. Così facendo ci si rende addirittura conto che, realizzate le condizioni di cui sopra, la precitata distanza fra i due vertici retti è automaticamente la misura del terzo lato, cioè quello "centrale", nel caso in esame il lato b.

Da questa sperimentale prova empirica, ed una volta effettuate le necessarie misurazioni, risulterebbe che:
- il lato ignoto misura m. 41,18 appross., e coincide con il diametro del cerchio circoscrivente
- i tre quadrilateri realizzabili hanno tutti la stessa superficie, corrispondente a mq. 493,66 appross.
- all'interno di tutti e tre i quadrilateri realizzabili sono identificabili due triangoli rettangoli, ognuno costituito dal lato d (ex ignoto) in qualità
di 'ipotenusa', mentre i due cateti sono costituiti da uno dei lati noti (purchè adiacente a d) e una delle due diagonali del quadrilatero.

A me, ovviamente, sembra tutto a posto e regolare. Tuttavia, l'unico post in cui figurino le risposte "effettive" è il primo, di Wonder P , inquanto tutti gli altri contengono teorie e formule (che io, per le ragioni esposte, non posso sviluppare) ma nessuno cita i risultati cui portano tali formule. E poichè, purtroppo, i risultati citati da Wonder P (quarto lato = m. 41,13 e Area = mq. 490,98) temo che i miei possano essere molto probabilmente errati. Vostri lumi al riguardo ?

<img src="http://utentiforum.supereva.it/WonderP/quadr1.jpg" border=0>
<img src="http://utentiforum.supereva.it/WonderP/quadr2.jpg" border=0>
<img src="http://utentiforum.supereva.it/WonderP/quadr3.jpg" border=0>

P.S.come si sviluppa l'equazione di Tony: "[1] 2 * ( asin(L1/x) + asin(L2/x) + asin(L3/x) ) = Pi" ,in funzione di x, e cioè: "x = ???". Grazie

[WonderP]

Dragouno, come sei arrivato a dire che d = 41,18? Tramite misurazioni empiriche? Se così fosse il tuo risultato non si discosta molto dal mio 41,13 e il risultato finale è minore dell'1%. Quindi direi che i risultati sono uguali, soprattutto per il fatto che il ragionamento è lo stesso, solo numericamente non coincidono.

WonderP.

[tony]

Congratulazioni, dragouno!
E' sempre bello vedere qualcuno che, pur privo degli strumenti insegnati in altre scuole, risolve un problema che lo appassiona, arrivando vicino al risultato esatto.
Chedevi:
<BLOCKQUOTE id=quote><font size=1 face="Verdana, Arial, Helvetica" id=quote>*quote:<hr height=1 noshade id=quote>
P.S.come si sviluppa l'equazione di Tony:
"[1] 2 * ( asin(L1/x) + asin(L2/x) + asin(L3/x) ) = Pi"
in funzione di x, e cioè: "x = ???".
<hr height=1 noshade id=quote></BLOCKQUOTE id=quote></font id=quote><font face="Verdana, Arial, Helvetica" size=2 id=quote>
Ti deluderò, dragouno, rispondendoti:
"per tentativi"
se poi i tentativi sono razionalmente organizzati, è più raffinato dire
"per approssimazioni successive"
e, se si sono escogitate delle tattiche per minimizzare il numero di prove, si usa chiamarle pomposamente "algoritmi".
Ma la sostanza rimane quella dei "tentativi".
Tu stesso, spontaneamente, hai inventato e applicato al tuo esperimento un metodo di approssimazioni successive.

Molti progressi della matematica sono dovuti alla ricerca di raffinare le tecniche di calcolo da parte di grandi maestri che, umilmente, calcolavano a mano metri quadri di risultati intermedi.

Nel caso specifico della formuletta di cui sopra, si ha che
Lato4 = x = 41.13090584...
valore che quadra perfettamente con quello di WonderP.

Ciao da Tony

* ERRATA CORRIGE *
all'ultimo risultato aggiungo:

I "macinini" per questi calcoli sul computer una volta si programmavano ad hoc; oggi il software ne è pieno.

Inoltre si ha, senza marchingegni speciali:
Area=(L1*SQR(x^2-L1^2)+L2*SQR(x^2-L2^2)+L3*SQR(x^2-L3^2))/4 =
= 490,482198..., indipendente da L4!
Notevole questo fatto: dati i presupposti sulla forma semicircolare, si può calcolare l'area senza passare dal calcolo del lato L4.

* FINE ERRATA CORRIGE *

*Edited by - tony on 19/11/2003 01:20:24

[n/a]

per Wonder P

Ho chiaramente premesso di aver proceduto empiricamente ed ho spiegato il come.
Dalla misurazione 'materiale' sulla carta quadrettata, col sistema illustrato, ho ricavato
le due estremità, e quindi la misura del lato ignoto. Del quadrilatero risultante ho potuto
misurare anche le diagonali. Ho controllato quindi il tutto, applicando Pitagora ove necessario.
Per le aree componenti il quadrilatero, quella del triangolo ACD era facilmente calcolabile.
Per quella del triangolo ABC, ho misurato materialmente l'altezza del triangolo (alzando
una perpendicolare dall'angolo B alla diagonale d1) e calcolando l'area da aggiungere.

Al riguardo, devo aggiungere che, nel dubbio ed anche perchè non mi soddisfacevano le
differenze con il risultato dei tuoi calcoli (che, essendo matematici, erano "necessariamente"
esatti, ho rifatto tutto il lavoro su carta "millimetrata" (anzichè 'semicentimetrata') e mi sono
reso conto che le altezze da me misurate per i triangoli ABC erano lievemente imprecise.
Infatti quella dei triangoli I e II deve essere ridotta a cm. 4,8, mentre quella del triangolo III
viene ridotta cm. 7,25.
Rifatti i calcoli, le aree dei triangoli risultano:per i triangoli nn. I e II = mq. 490.85 e quello
n. III = mq. 490,50, misure che differiscono di pochissimo tra loro e, quel che è più importante,
dal tuo risultato. Anche la differenza di misura del 4^lato penso sia dovuta ad una sia pur minima
imperfezione del disegno o nella realizzazione delle "rettitudini" degli angoli retti implicati...!

dragouno

____________

per Tony

Ti sono molto grato per le favorevoli considerazioni. Mi appassionano questi quesiti e cerco
di tenere in allenamento un cervello con 74 anni di vetustà !
Ho preso buona nota delle formule segnalatemi che studierò con attenzione, specie circa la
impossibilità di trasformare quell'equazione in funzione della "x".
Ciao.

dragouno

dragouno

[WonderP]

Bene, quindi era solo questione di precisione millimetrica. Sappi che secondo me il metodo per approssimazioni successive (siamo eleganti) è il migliore per assecondare le intuizioni, ma puoi (purtroppo) ci si deve rimettere nelle mani della rigorosità e delle formule.

WonderP.

[n/a]

Questo è poco, ma sicuro !
Comprerò un libro sulla trigonometria, almeno, e mi attrezzerò !
Ciao e grazie.

Luciano

dragouno