In pratica bisogna risolvere:
\(\displaystyle \begin{cases} x^2 \equiv x (\mod 1000 )\\
x \in \mathbb{N}\\
x \geq 100\\
x \leq 999 \end{cases} (*)\)
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Equivalentemente, $x (x-1)$ deve essere multiplo di $1000$.
Siccome $x$ e $x-1$ sono coprimi e di parità diversa, considerando che \( 1000 = 8 \cdot 125 \), si avrà
\(\displaystyle \begin{cases} x= 8a \\ x-1= 125 b \end{cases}\) oppure \(\displaystyle \begin{cases} x= 125 c \\ x-1= 8 d \end{cases}\) per opportuni $a,b,c,d in NN$.
Tenendo presente che $100<=x<=999$,
nel primo caso si ha $8a = x = 125 b +1 in {126, 251, 376, 501, 626, 751, 876}$
e tra questi l'unico multiplo di $8$ è $376$.
nel secondo caso si ha $8d = x -1= 125 c -1 in {124, 249, 374, 499, 624, 749, 874}$
e tra questi l'unico multiplo di $8$ è $624$.
Quindi $x = 376$ oppure $x = 625$.
Una volta risolto, le soluzioni di \(\displaystyle (*) \) sono anche soluzioni di \(\displaystyle x^3 \equiv x (\mod 1000) \),
in quanto \(\displaystyle x^3 = x^2 \cdot x \equiv x \cdot x (\mod 1000) = x^2 \equiv x (\mod 1000) \)