Gnomi

da **dan95** » 07/08/2022, 18:08

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Consideriamo un quadrato 3x3 contenuto all'interno del quadrato 7x7 come nell'immagine

e sia $l$ la lunghezza della barba dello gnomo al centro.

Possono presentarsi queste tre tipi di configurazioni all'interno di questo quadrato:

$ {: ( \ast , l \pm 1 , \ast ),( l\pm 1 , l , l \pm 1 ),( \ast , l \pm 1 , \ast ) :} $

$ {: ( \ast , l \pm 1 , l ),( l\pm 1 , l , l \-/+ 1 ),( l , l -/+ 1 , \ast ) :} $

$ {: ( l , l -/+ 1 , l ),( l \pm 1 , l , l \pm 1 ),( l , l -/+ 1 , l ) :} $

In questa ultima configurazione nella cella vicina a quella in alto a destra deve esserci $l \pm 1$.

$ {: ( l , l -/+ 1 , l, l\pm 1 ),( l \pm 1 , l , l \pm 1,l \or l\pm 2),( l , l -/+ 1 , l, \ast) :} $

In tutte e tre le configurazioni è possibile costruire un cammino nella scacchiera 7×7 passante anche solo una volta per due gnomi diagonalmente vicini.¹

Note

Il simbolo $-/+$ indica - o +. ↑

da **axpgn** » 16/08/2022, 21:32

Premesso che non mi è chiarissimo ...

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(le situazioni sono un po' più di tre ma soprattutto come fai a far discendere, in modo certo, dal fatto che si possa fare una mossa in diagonale la conclusione che esista effettivamente un percorso?
Voglio dire, sappiamo fin dall'inizio che esiste sempre una soluzione ma andrebbe esplicitata quale è

)

... rimane ancora aperto il secondo punto ...

Cordialmente, Alex

da **axpgn** » 30/08/2022, 13:19

Per il secondo punto ...

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Affinché ogni gnomo saluti tutti gli altri compagni, ognuno deve salutare $8$ gnomi.
In una griglia $3 xx 3$, gli gnomi negli angoli salutano solo altri due gnomi, quelli intermedi sul lato ne salutano $3$ e quello in centro ne saluta $4$.

Ora, dopo la prima disposizione avremo quattro gnomi che ne hanno salutato altri due, quattro gnomi che ne hanno salutati tre e uno solo che ne ha salutati quattro.
Nella seconda disposizione possiamo mettere quest'ultimo in un angolo (come pure nella terza disposizione ed è a posto avendone salutati $8$) mentre possiamo disporre gli gnomi d'angolo uno al centro e tre sugli intermedi e i quattro intermedi negli angoli.
A questo punto ci sono sei gnomi che hanno salutato cinque altri vicini e per giungere all'obiettivo dovremmo posizionarli tutti e sei fuori dagli angoli ma purtroppo ci sono solo cinque posti disponibili ...

Cordialmente, Alex

da **dan95** » 30/08/2022, 22:49

@Alex ci penso domani...

da **axpgn** » 30/08/2022, 22:50

A cosa?

da **dan95** » 30/08/2022, 22:52

Al terzo punto... Perché tu dici che le configurazioni sono di più ma mi sfugge adesso quali siano le altre.

da **axpgn** » 30/08/2022, 23:00

Intendevo dire che a mio parere hai ipersemplificato la situazione (sia per le caselle adiacenti ortogonalmente sia per quelle diagonalmente ma anche per la posizione dei blocchi, non sono tutte equivalenti) ma il dubbio (mio) principale riguarda il perché da una possibile mossa in diagonale discenda sicuramente l'esistenza di un percorso compatibile con le richieste.
Io penso che andrebbe esplicitato o comunque esplicitata la sua costruzione.