Tangenti

[axpgn]

$A$ e $B$ sono i centri di due cerchi.

Rette uscenti da $A$ e tangenti al cerchio centrato in $B$, tagliano il cerchio centrato in $A$ nei punti $P$ e $Q$.
Similmente, rette uscenti da $B$ e tangenti al cerchio centrato in $A$, tagliano il cerchio centrato in $B$ nei punti $R$ e $S$.

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Mostrare che la distanza da $P$ a $Q$ è la stessa tra da $R$ ad $S$.


Cordialmente, Alex

[mgrau]

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Ma sei sicuro? Perchè la tesi implica che, chiamando $alpha$ l'angolo in $A$ e $beta$ l'angolo in $B$, $R_A$ e $R_B$ i raggi delle due circonferenze, $PQ = alphaR_A = betaR_B = RS$. Quindi, $ R_B/R_A = alpha/beta$.
Però, se guardi i triangoli $ABC$ e $ABD$, rettangoli,




si ha:
$AC = R_A = AB sin (beta/2)$ e $AD = R_B = AB sin (alpha/2)$, da cui $R_B/R_A = sin(alpha/2)/sin(beta/2)$, che mi pare incompatibile con l'uguaglianza sopra.

Ah, forse ho capito. Intendi i segmenti PQ e RS non gli archi! Quindi direi che ci siamo.

[Quinzio]

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Con qualche similitudine fra i triangoli

$PQ = 2 (AP * BR)/ (AB)$

Usando la simmetria della figura. scambiando A con B, P con R, Q con S, si giunge alla stessa formula, quindi $PQ = RS$

[axpgn]

Bravi!

mgrau di più perché ha messo anche i dettagli

[Quinzio]

Mai 'na gioia.