sembra quasi una follia ma è vero..

da **Spazio Sghembo** » 02/04/2004, 13:11

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lo sapete che in R4 (lo spazio formato dalle quaterne di numeri reali..o dalle coppie di complessi..) se avete sete e volete bere un po' d'acqua fresca dal frigorifero potete prendere la bottiglia da quest'ultimo senza doverlo aprire??? quando l'anno scorso il prof ce l'ha detto siamo rimasti a bocca aperta...

x chi lo sapeva: lo sapete anche giustificare??? si fa x analogia... se nn lo sapete chiedete pure e ve lo spiegherò..
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Ah, R^4 e C^2 non sono propriamente la stessa cosa...

================================= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+f=0 =================================

da **Ramo82** » 02/04/2004, 13:37

avete fatto topologia in ingegneria???wow..strano..e che libro avete usato (se posso chiedere)? o avete solo accennato qlcs??

da **Spazio Sghembo** » 02/04/2004, 16:02

No, non abbiamo fatto topologia... Ma in C ad esempio è definita la moltiplicazione tra elementi, in R^2 no.

C è un campo numerico, R^2 non può essere definito tale...

================================= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+f=0 =================================

da **Maverick** » 02/04/2004, 16:40

per spazio sghembo:

il concetto di misura nulla esiste in qualsiasi spazio R^n e non solo. per convincertene basta che prendi un oggetto in R^4 e consideri la sua frontiera, essa sarà un oggetto tridimensionale che ha ovviamente volume quadridimensionale nullo secondo qualunque definizione di dimensione usi, da quella intuitiva di numero di vettori indipendenti che formano una base dello spazio a quella più precisa e profiqua di Hausdorff che permette di definire oggetti a dimensione non intera (i frattali per esempio).

oppure pensa ad una funzione definita du un dominio a 4 dimensioni.
se cambio i suoi valori su un sottodominio a 3 dimensioni il suo integrale (di lebesgue) non cambia.

da **Spazio Sghembo** » 02/04/2004, 16:58

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per spazio sghembo:

il concetto di misura nulla esiste in qualsiasi spazio R^n e non solo. per convincertene basta che prendi un oggetto in R^4 e consideri la sua frontiera, essa sarà un oggetto tridimensionale che ha ovviamente volume quadridimensionale nullo secondo qualunque definizione di dimensione usi, da quella intuitiva di numero di vettori indipendenti che formano una base dello spazio a quella più precisa e profiqua di Hausdorff che permette di definire oggetti a dimensione non intera (i frattali per esempio).

oppure pensa ad una funzione definita du un dominio a 4 dimensioni.
se cambio i suoi valori su un sottodominio a 3 dimensioni il suo integrale (di lebesgue) non cambia.

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Quello che dici è estremamente interessante... Certo, la dimensione nulla, sappiamo che significa in r^n con n <4, , ovvero lunghezza, area e volume, ma possiamo portare così sempliemente le nostre conoscenze alla quarta dimensione?

La frontiera avrà volume quadridimensionale nulla, ma volume tridimensionale... Ovvero, secondo me, esseri tridimensionali potrebbero vivere senza problema in uno spazio quadririmensionale...

Devo un po' lavorarci su...

================================= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+f=0 =================================

da **Maverick** » 02/04/2004, 20:25

ti assicuro che passando da R3 a R4 o Rn qualsiasi non succede niente di strano. (al limite bisogna stare attenti se n=infinito ma a livello di teoria della misura non cambia niente)

in generale un oggetto n dimensionale avrà misura n dimensionale finita, misura n+k dimensionale nulla e misura n-k dimensionale infinita, con k>0, qualunque sia lo spazio che lo contiene. Anzi, la dimensione di un oggetto nella definizione di hausdorff è proprio quel particolare numero che rende la sua misura finita.

Rn è uno spazio molto bello, è un hilbert quindi è dotato di norma, di prodotto interno, valgono tutti i teoremi di proiezione, ci puoi risolvere problemi variazionali col metodo di galerkin, insomma ci puoi fare tutto. ovviamente è anche uno spazio metrico.

riguardo alla tua ultima osservazione un quadrato di lato l ha area l^2 sia se sta in un piano sia se sta nello spazio. quindi noi potremmo vivere tranquillamente anche in R^4 ma saremmo tipo sogliole che strisciano...

comunque non limitarti a pensare a R4, le cose più belle si studiano negli spazi a dimensione infinita come gli spazi funzionali (Lp, Sobolev...) oppure per essere raffinati si possono studiare gli spazi duali, cioè gli spazi degli operatori lineari e continui che operano su un certo spazio (del quale appunto sono il duale).

Mai sentito parlare della teoria delle distribuzioni di Laurent Schwarz?

da **Spazio Sghembo** » 02/04/2004, 23:42

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Mai sentito parlare della teoria delle distribuzioni di Laurent Schwarz?

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No, ti va di anticiparmi qualcosa?? (Quanto sto rimpiangendo di non aver fatto matematica...)

================================= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+f=0 =================================

da **Maverick** » 03/04/2004, 11:28

premesso che io non faccio matematica ma ingegneria,
non mi sento in grado di esporre la toria sulle distribuzioni, anche perchè è così vasta e complessa che non può prescindere da uno studio serio fatto su qualche libro.
posso però provare a far capire da quali problematiche nasce la necessità di ampliare il concetto di funzione.

prendiamo per esempio la funzione rettangolo, che vale 1/n sull'intervallo [-1/2n;1/2n] e 0 altrove.
se ne facciamo l'integrale vediamo che viene 1.
ora mandiamo n all'infinito. l'integrale vale sempre 1 ma la funzione sarà diversa da 0 solo in un punto, cioè lo 0, dove il suo valore è idealmente infinito. essendo il supporto di questa funzione un insieme di misura nulla, il suo integrale è per definizione 0. abbiamo quindi una contraddizione.
il fatto è che l'oggetto che abbiamo definito non è più una funzione, ma una distribuzione, comunemente nota come DELTA DI DIRAC, o impulso.

mentre le funzioni f(x) vengono definite in base al loro effetto su un valore di x, le distribuzioni vengono definite in base al loro effetto su particolari funzioni di ingresso, dette funzioni test. ovviamente per poter descrivere una distribuzione in modo univoco dobbiamo valutarne l'effetto su un numero "molto grande" di funzioni test. le funzioni test che consideriamo sono quelle C infinito a supporto compatto e definiamo il loro spazio come lo spazio D delle funzioni test.

lo spazio duale di D è D' ed è lo spazio degli operatori lineari e continui che operano su D.
in questo spazio troviamo la delta, che opera nel seguente modo
<f(x),delta(0)>=f(0)
questo si può verificare se intendiamo il <.,.> come un integrale del prodotto e consideriamo che la nostra funzione test essendo a supporto compatto sarà nulla all'infinito.

introducendo anche una definizione di derivata è poi possibile definire le cosiddette "derivate distribuzionali"
in questo ambito le funzioni che presentano discontinuità a salto sono derivabili tranquillamente.
operativamente la "derivata di un salto" è proprio la delta centrata sul valore di x dove è presente la discontinuità moltiplicata per l'ampiezza del salto.
per essere chiari per esempio la delta è la derivata della funzione di heaviside. (infatti se integriamo formalmente la delta abbiamo che l'integrale è sempre 0 fino a X=0, poi "scatta" a 1 e ci rimane sempre, cioè è la funzione di heaviside)

può sembrare una forzatura definire derivate in punti di discontinuità, ma è una delle cose più importanti nella soluzioni di equazioni a derivare parziali, infatti soluzioni classiche in natura praticamente non esistono e l'unico modo è ricorrere a soluzioni in forma debole.

lo so che non sono stato per niente chiaro, ma vi assicuro che sono cose molto affascinanti e basilari nell'analisi.

da **Spazio Sghembo** » 03/04/2004, 13:13

Anche io frequento ingengeria, a Padova... E' interessante ciò che dici, spero di affrontarlo in uno dei prossimi corsi...

Grazie...

================================= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+f=0 =================================

sembra quasi una follia ma è vero..

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