Integrale con parametri

[Kroldar]

Questo risultato l'ho ricavato tempo fa poiché negli esercizi uscivano spesso integrali di questo tipo in cui cambiavano solo i coefficienti...
Siano $a,b,c in RR$ e sia $a^2>b^2+c^2$, consideriamo l'integrale $int_0^(2pi) dx/(a+bcosx+csenx)^2$.
Trovare il valore di quest'integrale in funzione dei soli parametri $a$,$b$ e $c$.

[Thomas]

Di sicuro si può risolvere con le parametriche... ma stavo provando una via alternativa... non ho finito i calcoli ma... cosa ne pensate???

$int_0^(2pi) dx/(a+bcosx+csenx)^2$=

=$1/a^2int_0^(2pi) dx/(1+b/a cosx+c/a senx)^2$=

=$1/a^2int_0^(2pi) dx/( 1+A*cos(x+\phi) )^2$

a patto di porre $\phi$ l'angolo $b/a cosx+c/a senx=A*cos(x+\phi)$ [questa sostituzione viene in aiuto dalla fisica ]

e quindi ci si è ricondotti, salvo estremi e compagnia bella a studiare l'integrale:

$int dy/( 1+Acos(y) )^2$

che, apparentemente, è un pò più semplice (è andato via il seno, perlomeno )... ma ora lo lascio là (in realtà avevo sbagliato i calcoli prima e mi veniva in pratica $A=1$, che si risolve abbstanza in fretta con duplicazione).... si potrebbe sempre terminare con le parametriche

byez

[Kroldar]

sinceramente con le parametriche non ci ho mai provato... per via della presenza di ben 3 parametri credo sia un lavoro calcolotico immane. sinceramente penso che il metodo che ho adottato io sia un po' meno lungo (magari concettualmente più difficile, ma neanche tanto)... non sottovalutare la condizione $a^2>b^2+c^2$, essa dà infatti una importante informazione riguardo al denominatore della funzione integranda. tra l'altro aggiungerei che i coefficienti $b$ e $c$ non devono essere contemporaneamente nulli, altrimenti si cade in un caso banale... nel primo post avevo dimenticato di specificarlo ma la verifica è immediata

[Thomas]

ok ok... se mi viene in mente qualcosa di diverso lo posto... cmq il problema un pò l'ho semplificato dai... nella nuova forma i calcoli non sono poi impossibili... ma lasciamo perdere... cercherà qualcos'altro... magari i complessi semplificheranno.... chissà!!

[Kroldar]

magari i complessi semplificheranno.... chissà!!

bravo sei sulla strada giusta

[Thomas]

Il problema è carino... c'ho provato un pò ma non sono giunto a molto... ho provato altre tre vie:

- provare a mettere dentro degli esponenziali complessi$->$non ne trovo un vantaggio;
- provare ad interpretare l'integrale dato come area di una figura di coordinate polari $phi$ e raggio $r=1/(a+bcos(phi)+csen(phi)$ (forse l'integrale ne dà l'area ma non ne sono sicuro, però sembra che calcoli l'area dividendola in triangoli)$->$dovrei passare in coordinate cartesiane ma i calcoli sono brutti;
- provare ad interpretare geometricamente in altri modi nel piano complesso l'integrale dato$->$niente;

Ora lo lascio quà Kroldar (se sono andato molto vicino alla sol ditelo però) perchè ho vari esami da preparare (ci provi qualcun altro!)... ma ho come l'impressione che dopo l'esame di analisi due (ovvero l'anno prox) questo integrale mi sembrerà "facile"... o forse no... magari c'è qualcosa di "elementare" che non vedo.... ...

ciao ciao

[Kroldar]

Guarda Thomas, ci vado cauto perché col tempo ho avuto modo di appurare come i concetti di "Analisi I" e "Analisi II" siano alquanto relativi... magari degli argomenti, che in un corso di laurea vengono trattati in Analisi II, si trovano in Analisi I di un altro corso di laurea. Personalmente subito dopo aver sostenuto Analisi II l'anno scorso non sarei mai stato in grado di risolvere questo problema, che ho incontrato durante la preparazione a un esame di matematica successivo. Cmq per chiarire le cose e darti un aiuto ti dico che ho fatto ricorso all'analisi complessa e ai "residui" (magari da te si trattano già ad Analisi I oppure sai cosa sono già di tuo).

[Thomas]

eheh... grazie mille Kroldar per avere elencato le "armi" da utilizzare .... putroppo non le ho a mia disposizione ... ci vuole qualcuno un pò più preparato di me ....

cmq è vero quanto dici sui corsi di laurea... Quest'anno ho potuto osservare come (almeno al primo anno) in analisi (proprio come programma!) gli studenti di ingegneria superano quelli di fisica e quelli di fisica superano quelli di matematica ... ( e non di poco!)

alla prox!

[Salamandra]

A me risulta $2pi(a^2+a(c-sqrt(b^2+c^2))/sqrt(b^2+c^2)-1/2)

[Kroldar]

la soluzione non è quella... magari se mi dici come hai ragionato vediamo di rettificare il tuo risultato