polinomio di quinto grado

[giuseppe87x]

Comunque mi interesserebbe vedere come si prova una cosa del genere.

[giacor86]

ci penso stanotte e doma posterò ilresponso

[giacor86]

ci ho pensato e non ci sono riuscito

[ficus2002]

suggerimento: pensate a come si risolve per radicali il polinomio generico di terzo grado.

[Camillo]

L'equazione da risolvere per radicali è : $x^5-*5x^4+5x^3+5x^2-5x-5=0$.
Seguo il suggerimento :
Applico lo stesso procedimento che si usa per le equazioni di terzo grado per far annullare il termine di secondo grado , in questo caso si pone :
$x= (y-(1/5)*(-5 ))=y+1 $ cioè $ x = ( y-(1/n)*a_4) $ essendo n il grado del polinomio e $ a_4$ il coefficiente del termine di quarto grado.
Svolgendo i calcoli si ottiene : $y^5-5y^3+5y-4 = 0$ ; il termine di quarto grado si è annullato.. e adesso ....?

[ficus2002]

benissimo; a questo punto, (come per risolvere l'eq cubica) si pone $y=u+v$ e si trova un'equazione di secondo grado che ha $u$ e $v$ come radici.
Se volete posto la soluzione.

[karl]

Seguendo le indicazioni di Ficus ed il calcolo di Camillo,ho:
$y=u+v$
Da cui elevando alla quinta:
$y^5=u^5+v^5+5u^4v+5uv^4+10u^3v^2+10u^2v^3$
Oppure:
$y^5=u^5+v^5+5uv(u^3+v^3)+10u^2v^2(u+v)$
Ovvero:
$y^5=u^5+v^5+5uv[(u+v)^3-3uv(u+v)]+10u^2v^2(u+v)=$
$=u^5+v^5+5uv(u+v)^3-5u^2v^2(u+v)$
Poiche' u+v=y risulta:
$y^5-5(uv)y^3+5(uv)^2y-(u^5+v^5)=0$
Confrontando con l'equazione di Camillo si ricava che deve essere:
$u^5+v^5=4,uv=1$ od anche:$u^5+v^5=4,u^5v^5=1$
Com'e' noto tale sistema si risolve con l'equazione:
$t^2-4t+1=0$ dove t rappresenta $u^5$ o $v^5$
Pertanto
$u^5=2-sqrt3,v^5=2+sqrt3$ da cui $u=root[5](2-sqrt3),v=root[5](2+sqrt3$
o viceversa,
In definitiva si ricava che:
$x=1+root[5](2-sqrt3)+root[5](2+sqrt3$
Calcolando tutte le determinazioni (reali o complesse) delle radici quinte
si ottengono le radici del polinomio mediante radicali.
karl

[ficus2002]

perfetto