A proposito di polinomi...

[giuseppe87x]

Dimostrare che il polinomio

$x^p+px+p$

con $p$ numero primo è irriducibile in $ZZ[x]$

[ficus2002]

Dimostrare che il polinomio

$x^p+px+p$

con $p$ numero primo è irriducibile in $Z[x]$

Supponiamo che il polinomio sopra è prodotto di due polinomi $f,g\in ZZ[x]$ non unitari. Se fosse $f$ di grado $0$ allora si avrebbe la contraddizione $f=1$ perchè il polinomio di partenza è monico; quindi i polinomi $f$ e $g$ hanno grado positivo pertanto non sono unitari in $QQ[x]$. Ciò contraddice il criterio di Esestein, per il quale il polinomio $x^p+px+p$ è irriducibile in $QQ[x]$.

[giuseppe87x]

Ciò contraddice il criterio di Esestein, per il quale il polinomio $x^p+px+p$ è irriducibile in $QQ[x]$.

Io sapevo che il criterio di Eisenstein fosse valido per verificare l'irriducibilità dei polinomi negli interi, non nei razionali.
In tal caso possiamo osservare che esiste il primo $p$ tale che
-$p$ non divide il coefficiente di $x^p$
-$p$ divide il coefficiente di $x$ e il termine noto
-$p^2$ non divide il termine noto.
Quindi, per il criterio di Eisenstein, il polinomio è irriducibile negli interi.

[ficus2002]

Io sapevo che il criterio di Eisenstein fosse valido per verificare l'irriducibilità dei polinomi negli interi, non nei razionali.

In effetti, se $f\in ZZ[x]$ si fattorizza non banalmente in $QQ[x]$ allora si fattorizza non banalmente anche in $ZZ[x]$.

[giuseppe87x]

Io sapevo che il criterio di Eisenstein fosse valido per verificare l'irriducibilità dei polinomi negli interi, non nei razionali.

In effetti, se $f\in ZZ[x]$ si fattorizza non banalmente in $QQ[x]$ allora si fattorizza non banalmente anche in $ZZ[x]$.

Allora ok