disequazione

[vl4d]

dimostrare che $n^{p} < ((n+1)^{p+1} - n^{p+1})/(p+1) < (n+1)^{p}$

[karl]

Per p=1 la relazione e' vera :possiamo quindi supporre p>1
Se L e' il termine intermedio ,si ha:
$L= (((p+1),(0))n^(p+1)+((p+1),(1))n^p+ ((p+1),(2))n^(p-1)+...+ ((p+1),(p))n+ ((p+1),(p+1))-n^(p+1))/(p+1$
Ovvero:
$L= n^p+(((p+1),(2))n^(p-1)+...+ ((p+1),(p))n+ ((p+1),(p+1)))/(p+1)$
Pertanto e' $L>n^p$
Ora si ha pure (spezzando L in piu' frazioni):
$L=n^p+p/(2!)n^(p-1)+(p(p-1))/(3!)n^(p-2)+...+n+1$
Ed e' sicuramente:
$L<n^p+((p),(1))n^(p-1)+((p),(2))n^(p-2)+...+((p),(p-1))n+1$
E cioe' $L<(n+1)^p$
karl