Anche questo semplice ma carino...

[giuseppe87x]

Dimostrare che $AAninNN,$ $7$ divide $3^(2n+1)+2^(n+2)$

[carlo23]

Dimostrare che $AAninNN,$ $7$ divide $3^(2n+1)+2^(n+2)$

Abbiamo $3^(2n+1)+2^(n+2) -= 3*(3^(2n))+2^(n+2) -= 3*(2^(n))+2^(n+2) -= 2^n (3+2^2) -=0 mod 7$

Ciao Ciao

[giuseppe87x]

Bene Carlo!

[vl4d]

che figo, non avevo pensato alle congruenze!

per induzione, se $n = 1$ funziona.
supponiamo $7 | 3^{2n + 1} + 2^{2n+2}$ allora $ 2^{2n+2} = 7q - 3^{2n + 1}$ dunque
$3^{2(n+1) + 1} + 2^{2(n+1)+2} = 3^{2}3^{2n+1} + 2(7q - 3^{2n+1}) = 3^{2n+1}(9-2) + 2*7*q = 7*(...)$

[giuseppe87x]

Bene vl4d, anche io avevo pensato all'induzione, poi l'ho fatto con le congruenze perchè è più immediato. Bella anche questa comunque.

[karl]

Propongo una dimostrazione senza l'uso delle congruenze.
Si puo' scrivere:
$3^(2n+1)+2^(n+2)=(3^(2n+1)+4^(2n+1))-2^(n+2)(8^n-1)$
Ora,essendo 2n+1 dispari ,la somma $3^(2n+1)+4^(2n+1)$ e' certamente
divisibile per la somma delle basi ovvero per 7 mentre $8^n-1$ e' divisibile
per la differenza delle basi e cioe' sempre per 7.Dunque tutta l'espressione
e' divisibile per 7.
La dimostrazione si puo' anche fare per induzione : l'affido a carlo23.
karl

[vl4d]

questa proprio non l'avrei mai pensata
pero' mi piace