Dimostrare che sqrt(3) non è razionale

[outspan]

Come posso dimostrare che sqrt(3) non è razionale?

Per sqrt(2) posso procedere per assurdo supponendo che esistano due
numeri naturali m, n primi tra loro tali che sqrt(2) = m/n.

Elevando al quadrato si ottiene 2n^2 = m^2: di qui segue che m^2 (e
dunque anche m) è pari. Quindi si può scrivere m = 2q per qualche
naturale q. Segue che:

n^2 = 2q^2

Quest'ultima formula implica che n^2, e di conseguenza n, è un numero
pari; quindi sia m che n sono numeri pari e questo è assurdo per
l'ipotesi fatta che fossero primi tra loro: dunque sqrt(2) non è razionale.


Per dimostrare che sqrt(3) non è razionale, seguendo lo stesso
ragionamento arrivo a dire che

3n^2 = m^2

ossia che m, n sono entrambi pari o entrambi dispari. Siccome (per la
dimostrazione precedente) non possono essere entrambi pari, saranno
entrambi dispari.

E qui mi sono fermato . Vi ho portati in un vicolo cieco o riesco a
uscirne? =)

[pjcohen]

La proposizione può essere così generalizzata. Per ogni numero primo $p$ vale che $\sqrt{p}$ non è razionale.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo esistano $m,n$ interi tali che $m^2/n^2=p$. Ma allora $p$ compare con esponente pari nella fattorizzazione di $m^2$ e di $n^2$, dunque dovrebbe comparire con esponente pari anche nella fattorizzazione di $m^2/n^2$ che altro non è che $p$, quindi $p$ in essa ha esponente dispari:assurdo.

[pjcohen]

In modo più elegante. Se $m^2/n^2=p$, allora $m^2=p*n^2$: a sinistra dell'uguaglianza p compare con esponente pari, a destra dispari. Assurdo.

[son Goku]

penso che si possa generalizzare un pò di più per i naturali non quadrati perfetti se p e q sono coprimi allora $p^2$ e $q^2$ sono anch'essi coprimi, quindi se per assurdo $p/q=sqrt(n)$ allora dovrebbe essere che $p^2/q^2=n$ ma ciò è impossibile perchè $p^2$ e $q^2$ sono coprimi quindi il loro rapporto non può essere un naturale, è giusto o una cavolata?

[outspan]

La proposizione può essere così generalizzata. Per ogni numero primo $p$ vale che $\sqrt{p}$ non è razionale.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo esistano $m,n$ interi tali che $m^2/n^2=p$. Ma allora $p$ compare con esponente pari nella fattorizzazione di $m^2$ e di $n^2$, dunque dovrebbe comparire con esponente pari anche nella fattorizzazione di $m^2/n^2$ che altro non è che $p$, quindi $p$ in essa ha esponente dispari:assurdo.

Giusto
il tuo metodo vale per la radice di qualsiasi numero che non sia lo sviluppo di un quadrato perfetto, non solo per i numeri primi.

Se però cerco di dimostrare l'irrazionalità di $2^(1/3)$, questo metodo non funziona (arrivo a dire che $m^3/n^3=2$, ma questo non porta da nessuna parte :/. Qualche idea?

grazie ^^

[outspan]

mi auto-rispondo... si può dimostrare che $2^(1/3)$ è irrazionale con un ragionamento analogo a quello usato per $sqrt(2)$. Scusate ma sto iniziando solo ora a prendere confidenza con le dimostrazioni .

[son Goku]

idea folle se $m^3/n^3=2$ allora $m^3=n^3+n^3$ impossibile per il teorema di fermat

[outspan]

idea folle se $m^3/n^3=2$ allora $m^3=n^3+n^3$ impossibile per il teorema di fermat

Per i poveri mortali post-maturati che non hanno ancora studiato il teorema di Fermat?

[Valerio Capraro]

L'idea è giusta Guillame... ma usare Fermat per questo è un tantino esagerato...

@outspan
il teorema di Fermat non si fa neanche all'uni..

[outspan]

L'idea è giusta Guillame... ma usare Fermat per questo è un tantino esagerato...

@outspan
il teorema di Fermat non si fa neanche all'uni..

Superuomo...

http://didattica.polito.it/pls/portal30 ... a_acc=2007