Successione che tende a $\pi$ (1)

[ficus2002]

Sia $f(x)=(1+sinx)/(cosx)$ e sia $C_n=(d^{n}f)/(dx^n)(0)$. Provare che
$lim_{n->+oo} (n+1)C_n/C_{n+1}=\pi/2$

[Thomas]

mmm... non sono andato a fonda con questo metodo (ci provo bene se dici che è vero, ficus )...
ma quel limite mica è "strettamente legato legato con il limite del rapporto tra due termini consecutivi dello sviluppo in serie di Taylor della tangente centrato in zero? (sempre che questo limite esista...)...

ciao ciao

[ficus2002]

Non ho la certezza che sia giusto perchè non ho la risoluzione; però la fonte mi pare attendibile

[Thomas]

ehm... mi sbagliavo.... avevo fatto un errore... in qualche modo lo sviluppo della tangente c'entra (si riesce a scrivere il tutto in funzione di $tg(x/2)$ ), ma i calcoli vengono IMPOSSIBILI...

Forse questo approccio è migliore: supponendo

$f(x)=\sum_{k=1}^{infty}a_kx^k$
$sin(x) =\sum_{k=1}^{infty}s_kx^k$
$cos(x)=\sum_{k=1}^{infty}c_kx^k$

(gli ultimi due sviluppi sono noti, solo che ora non ho tempo di scriverli espansi, anche perchè non li ricordo )

si ha la relazione ricorsiva:

$\sum_{n=1}^{k}(a_n*c_(k-n))=s_k$ [1]

valida per k>0 (naturalmente $a_0=1$)...

che permette perlomeno di calcolare operativamente in fretta tutte le derivate del problema (la $a_k$ si isola bene nella [1])... riusciamo a tirare fuori qualcosa così, ficus??? che ne dici???



ps: dai cerchiamo di fare un lavoro di gruppo per distruggere questo problema, senza fretta, tanto è estate

[MaMo]

.....
ps: dai cerchiamo di fare un lavoro di gruppo per distruggere questo problema, senza fretta, tanto è estate

Scriviamo la funzione nel seguente modo:

$f(x)=1/cosx+tanx=secx+tanx$

Sviluppando in serie si ha:

$f(x)=[1+x^2/2+5x^4/24+.....+E_nx^(2n)/((2n)!)]+[x+x^3/3+2x^5/15+.....+(2^(2n)(2^(2n)-1)B_nx^(2n-1))/((2n)!)]$

dove $E_n$ e $B_n$ sono risettivamente l'ennesimo numero di Eulero e l'ennesimo numero di Bernulli.
Ora è facile determinare la derivata di ordine k nel punto x = 0....
Per trovare il limite richiesto basta poi ricordare che:

$lim_(n->infty)B_n=((2n)!)/(2^(2n-1)pi^(2n))$

$lim_(n->infty)E_n=(2^(2n+2)(2n)!)/(pi^(2n+1))$

[Thomas]

Grande Mamo!! ...


Non sapevo dell'esistenza dello sviluppo della secante!... men che meno di quei limiti là... credo che andrò ad informarmi quando avrò tempo e voglia questa estate ... del resto con questi numeri di Eulero e Bernoulli si è risolto proprio un problema carino!!

in ogni caso, con il metodo che suggerivo nel post precedente non si arriva a nulla?? La via mi sembrava promettente.... magari ci riproverò in seguito... (anche se il problema è stato risolto già)

[Thomas]

Mica conoscete un libro in cui simili argomenti siano affrontati in modo esauriente?? (magari potrei prenderlo come lettura "estiva")

[ficus2002]

Ho trovato questo manuale: ci sono i numeri di Eulero e Bernoulli, gli sviluppi in serie di tutte le funzioni trigonomentriche e altre formule (senza dimostrazioni).