Numeri primi e divisibilità

[laura.todisco]

Dunque $k_0$ è divisibile per $2$ e inoltre abbiamo due casi: $k_0$ divisibile per $3$ oppure $k_1$ divisibile per $3$.

Non sono d'accordo sul fatto che ci siano solo questi 2 casi. Se prendiamo un numero pari, ad esempio 28, non è divisibile per 3 ma neanche il successivo 29.

[pjcohen]

Dunque $k_0$ è divisibile per $2$ e inoltre abbiamo due casi: $k_0$ divisibile per $3$ oppure $k_1$ divisibile per $3$.

Non sono d'accordo sul fatto che ci siano solo questi 2 casi. Se prendiamo un numero pari, ad esempio 28, non è divisibile per 3 ma neanche il successivo 29.

In generale, se $n$ non è divisibile per $3$, ovviamente o lo è $n+1$ oppure lo è $n+2$. Applicato a quanto ho detto io, poiché $k_0-1$ non è divisibile per $3$, allora lo è $k_0$ o $k_1$ (ricordo è $k_1=k_0+1$).

[laura.todisco]

Giusto! Ma mi chiedo, perchè hai supposto che $k_0-1$ sia non divisibile per 2 e per 3 e non anche non divisibile per tutti gli altri dell'elenco?

[pjcohen]

Perché non aveva molta utilità. Già supponendo che $k_0-1$ non fosse divisibile né per $2$ né per $3$ ho potuto scartare abbastanza casi e far rimanere abbastanza pochi numeri per effettuare una verifica a mano.

Comunque sarebbe interessante generalizzare la proposizione e veder cosa succede se si prendono i primi $n$ numeri primi e vedere quanto deve essere lungo l'intervallo di numeri consecutivi perché rimanga vera la proposizione.

[giuseppe87x]

Io ho semplicemente constato che non è possibile trovare un intero $x$ tale per cui i numeri consecutivi $x+1, x+2,...,x+14$ siano divisibili per uno dei primi contenuti nell'insieme ${2, 3, 5, 7, 11}$.
Tale numero infatti è soluzione del seguente sistema:

${(x-=-1 modp_(1)), (x-=-2 modp_(2)), (--------), (x-=-14 modp_(14)):}$

Però poichè i numeri primi a nostra disposizione sono $5$, allora sicuramente alcuni dei $14$ primi saranno uguali tra loro ma ciò contraddice le ipotesi del teorema cinese dei resti in base al quale i moduli $p_(i)$ sono a due a due coprimi tra loro.

[giuseppe87x]

Tuttavia mi accorgo ora che il mio ragionamento è sbagliato. Ditemi voi perchè.

[pjcohen]

A me sembra una errata applicazione del teorema cinese dei resti.