Numeri primi e divisibilità

[giuseppe87x]

Esistono $14$ numeri interi positivi consecutivi ognuno dei quali sia divisibile per uno o più dei primi $p$ tali che $2<=p<=11$?

[miuemia]

ma ad esempio due o piu numeri fra questi 14 possono essere divisibili per uno stesso primo?
perchè se è così.è banalmente vero
poichè:
7 sono divisibili per due
4 sono divisibili per tre
3 sono divisibili per quattro
2 sono divisibili per cinque.

[laura.todisco]

consecutivi? Non mi sembra. Quali hai trovato? Io sto per bruciare la focaccia per risolvere stò quesito eheheh

[giuseppe87x]

ma ad esempio due o piu numeri fra questi 14 possono essere divisibili per uno stesso primo?
perchè se è così.è banalmente vero
poichè:
7 sono divisibili per due
4 sono divisibili per tre
3 sono divisibili per quattro
2 sono divisibili per cinque.

Si ma chi ci dice ad esempio che tra i 7 numeri divisibili per due non ci siano anche quelli divisibili per 3, per 5 per 7 e per 11?
E in questo caso degli altri sette che ne facciamo?
Insomma non è detto che i numeri che hai trovato tu siano tutti i 14.

[pjcohen]

Mi sembra che i numeri consecutivi cercati non esistano, ma non sono sicuro (i calcoli erano lunghetti). E così?

[giuseppe87x]

Io pure sono arrivato alla medesima conclusione utilizzando il teorema cinese del resto. Aspetto un altro pò se non risponde nessuno posto la mia soluzione.

[laura.todisco]

Io ne ho trovati solo 13, ma insomma, non sono riuscita a trovare un metodo ricorsivo.......... poi avevo la focaccia rustica nel forno, i bimbi affamati, il marito che sbuffa che sono sempre al pc............. LA VITA E' DURA GIA' SENZA GLI ENIGMI...

[carlo23]

Esistono $14$ numeri interi positivi consecutivi ognuno dei quali sia divisibile per uno o più dei primi $p$ tali che $2<=p<=11$?

D'ho solo un suggerimento anche perchè tra dieci minuti parto per le vacanze, a meno di una brillante idea userei il principio di inclusione-esclusione usando la stima

definito per un $n$ l'insieme $A={n,n+1,n+2...n+13}$ allora

$|{m in A , p | m }| <= [14/p]^+$

Ciao Ciao

[pjcohen]

Sia $k_0$ il più piccolo naturale fra i naturali $n$ tali che $n,n+1,n+2,...,n+13$ siano $14$ naturali consecutivi ognuno divisibile per un primo nell'insieme ${2,3,5,7,11}$. Siano $k_0,k_1,k_2,....,k_{13}$ tali naturali consecutivi.
Ovviamente $k_0>13$. Inoltre $k_0-1$ non è divisibile né per $2$ né per $3$, perché questo contraddirrebbe la minimalità di $k_0$. Dunque $k_0$ è divisibile per $2$ e inoltre abbiamo due casi: $k_0$ divisibile per $3$ oppure $k_1$ divisibile per $3$.

Caso 1) In questo caso esattamente $k_0, k_2, k_3, k_4, k_6, k_8, k_9, k_{10}, k_{12}$ sono divisibili per $2$ o per $3$. Rimangono dunque $k_1,k_5, k_7, k_{11}, k_{13}$. Ora, non ci possono essere fra questi numeri due numeri divisibili entrambi per $7$ o divisibili entrambi per $11$. Infatti, se due fra questi fossero divisibili entrambi per $7$ o per $11$, anche la differenza dovrebbe essere multiplo di $7$ o $11$, ma è banale osservare che questo non può verificarsi. Ma allora sono $3$ i numeri divisibili per $5$, dunque ci devono essere almeno $3$ coppie la cui differenza è divisibile per $5$, mentre invece ce n'è una sola: $k_1$ e $k_{11}$. Assurdo.

Caso 2) In questo caso esattamente $k_0, k_1, k_2, k_4, k_6, k_7, k_8, k_{10}, k_{12}, k_{13}$ sono divisibili per $2$ o per $3$. Rimangono dunque $k_3, k_5, k_9, k_{11}$. Dunque devono esserci fra questi due numeri divisibili entrambi per $5$, o entrambi per $7$ o entrambi per $11$. Questo è assurdo, altrimenti la differenza dovrebbe essere multiplo di $5$, $7$ o $11$, mentre questo è banalmente non vero. Assurdo.

In ogni caso si è raggiunto un assurdo, quindi i $14$ numeri in questione non esistono.


Comunque attendo anche la tua soluzione, giuseppe87x

[desko]

D'ho