Alcuni esercizi...

[giuseppe87x]

Questo problema si può fare il tanti modi; vediamo qual è la via più semplice.

Sia dato un angolo acuto e un punto $P$ interno ad esso. Condurre per $P$ una retta che stacchi sull'angolo un triangolo di area $a^2$. Dire per quali valori di $a$ il problema ammette soluzioni.

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Si consideri l'equazione:

$x^5+a_(1)x^4+a_(2)x^3+a_(3)x^2+a_(4)x+a_(5)=0$

a coefficienti tutti interi.
Supponiamo che i coefficienti $a_(1), a_(2), a_(3), a_(4), a_(5)$ siano divisibili per un assegnato numero primo $p>1$ e che $a_(5)$ non sia divisibile per $p^2$. Dimostrare che l'equazione non ammette nessuna soluzione intera.

Come si può dimostrare senza ricorrere al criterio di Eisenstein?

[pjcohen]

Esercizio 2. Sia $x$ per assurdo una soluzione dell'equazione. L'equazione allora può essere scritta come $x^5+pb_1x^4+pb_2x^3+pb_3x^2+pb_4x+pb_5=0$. Dunque $x^5=-p(b_1x^4+b_2x^3+b_3x^2+b_4x+b_5)$. Dunque $x^5$ è divisibile per $p$. Ma, poiché $p$ è primo, anche $x$ è divisibile per $p$. Ma allora, poiché $-a_5=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x$ e tutti gli addendi sono divisibli per $p^2$, segue che $p^2$ divide $a_5$, falso per ipotesi.

[giuseppe87x]

Eh scusa ho sbagliato a scrivere, è $x^5$ non $x^2$

[pjcohen]

Non cambia niente, la soluzione rimane la stessa.

[giuseppe87x]

Ah scusa, quando ho visto che avevo sbagliato neanche l'ho letta la tua soluzione. Grazie.

[giuseppe87x]

Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un
quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato $1$ si ottiene sempre
un quadrato perfetto.

[Bruno]

Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un
quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato $1$ si ottiene sempre
un quadrato perfetto.

Abbiamo, successivamente, che:

n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n(n+3)(n²+3n+2)+1 = n(n+3)[n(n+3)+2]+1 = 

e naturalmente non vale solo per i numeri interi e positivi .

Questa identità, d'altra parte, dimostra che, se fosse n(n+1)(n+2)(n+3) = p² ,
avremmo p²+1=q² (p e q interi) e ciò porterebbe a p=0, ossia dovremmo
considerare nullo (non positivo) uno dei quattro numeri.

[laura.todisco]

Abbiamo, successivamente, che:

n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n(n+3)(n²+3n+2)+1 = n(n+3)[n(n+3)+2]+1 = 

Non riesco a capire questa uguaglianza che hai scritto a cosa porta; non voglio dire che sia sbagliata, ma che io non la capisco; io l'ho calcolato così:

$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+n)(n^2+5n+6)+1=n^4+5n^3+6n^2+n^3+5n^2+6n+1=n^4+6n^3+9n^2+2n^2+6n+1=(n^2+3n+1)^2$
Il resto della dimostrazione va bene la tua.

[Bruno]

Abbiamo, successivamente, che:

n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n(n+3)(n²+3n+2)+1 = n(n+3)[n(n+3)+2]+1 = 

Non riesco a capire questa uguaglianza che hai scritto a cosa porta; non voglio dire che sia sbagliata, ma che io non la capisco; io l'ho calcolato così:

$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+n)(n^2+5n+6)+1=n^4+5n^3+6n^2+n^3+5n^2+6n+1=n^4+6n^3+9n^2+2n^2+6n+1=(n^2+3n+1)^2$
Il resto della dimostrazione va bene la tua.

...intendevo dire, Laura, che un'espressione di questo tipo m(m+2)+1 è
un quadrato e così ho messo un quadratino vero e proprio alla fine
Ciao!

[laura.todisco]

Si Bruno, il significato del quadratino mi era chiaro, non capivo l'espressione, ma poi Karl ti ha tradotto