Sono riuscito a trovare gli appunti delle considerazioni che ho fatto
qualche tempo fa sul problema.
Purtroppo non riesco a pensare a qualcosa di diverso perché mi manca
il tempo, e poi anche perché al momento non ho idee.
Sicuramente l'ottimo Fields avrà in serbo qualcosa di migliore.
Vabbe', è giusto per provare... Spero però di non aver scritto troppe
sciocchezze (di cui mi scuso in anticipo).
Bene.
Il metodo che segue è una specie di 'sbriciolamento'.
Supponendo che sia (e qui utilizzo il simbolo
per indicare un generico
quadrato intero, evitando così di ricorrere a troppe lettere):
n·[(n²-2)²-n²] =
con
n>2 (
n è il termine centrale del prodotto in questione e
[(n²-2)²-n²] =
(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)), si possono fare due congetture:
A) I termini
n e
(n²-2)²-n² ammettono
2 come unico divisore comune.
In questo caso le rispettive metà devono essere dei quadrati perfetti,
essendo prime fra loro.
B) I termini
n e
(n²-2)²-n² sono primi fra loro o sono entrambi divisibili
per
4 = (il loro eventuale massimo comun divisore) e quindi ciascuno
di essi dev'essere un quadrato perfetto.
Ipotesi A
In tale caso si avrebbe, dovendo prendere
n = 2·(2k+1) (con
k>0):
[4·(2k+1)²-2]²-4·(2k+1)² = 2·
ossia (con pochi passaggi e tenendo conto che
non è lo stesso):
½k(k+1)(4k+1)(4k+3) = .
Nell'ultima uguaglianza scritta si osserva che
4k+3= 4(k+1)-1 non può
essere primo con tutti gli altri fattori, in quanto ciò condurrebbe a
ritenerlo un quadrato, ma i quadrati dei numeri dispari seguono sempre
di un'unità un multiplo di
4.
Si vede anche che
4k+3 dev'essere primo con
k+1 e
4k+1, per cui
rimane da considerare
k, con cui può avere in comune solo il
3.
Si riconosce inoltre che
4k+1 dev'essere un quadrato perfetto.
Diversamente, infatti, potrebbe avere qualche fattore in comune
solo con
k+1 e con esso dovrebbe soltanto condividere il
3.
In tal caso
(4k+1)/3 dovrebbe essere un quadrato, cioè:
4k+1 = 3·.
Ma il triplo di un quadrato dispari precede sempre di un'unità un multiplo
di
4.
Si può allora introdurre questa ulteriore coppia di condizioni:
a)
½(k/3)(k+1) =
b)
4k/3+1 =
La b) ci dice che
k dev'essere un multiplo di
3, quindi nella a) possiamo
ancora distinguere questi due casi (essendo
k e
k+1 primi fra loro):
a.1.1)
k/3 = ,
a.1.2)
½(k+1) =
e
a.2.1)
k/6 =
a.2.2)
k+1 = .
Dalla a.1.1) si deduce che
4k/3+1 = +1, ma questo vuol dire
che - per la b) - le eventuali soluzioni dipendono dalla esprimibilità di
1
come differenza di due quadrati interi (
1 = 1²-0²), ciò che naturalmente
porta a considerare unitario il termine
4k/3+1 e nullo
k.
Dalla a.2.2) si deduce
4k+1+3 = , poiché però
4k+1 = (lo abbiamo
stabilito più sopra) e siccome
3 = 2²-1², si conclude che anche in questo
caso
k = 0.
Dal momento che dev'essere
k > 0, l'ipotesi
A è pertanto falsa.
Ipotesi B
Rimane da considerare l'eventualità in cui
n e
(n²-2)²-n² siano primi
fra loro o il loro massimo comun divisore sia
4 = .
In questi casi dobbiamo avere:
(n²-2)²-n² =
ed
n stesso dev'essere un quadrato perfetto.
Anche il discriminante dell'equazione:
(x-2)²-x =
dev'essere un quadrato, ossia:
9+4p² = q².
Poiché risulta
9 = 1·9 = 3·3, in due soli modi
9 può essere scritto come
differenza di due quadrati interi:
9 = 3²-0² = 5²-4²,
a cui corrispondono i seguenti valori di
x:
0, 1, 4, 5 .
Ricordando che
n > 2, si ha che
x = n² dev'essere non minore di
9
(senz'altro è più grande, visto che
n stesso è un quadrato), quindi
nessuno dei precedenti valori, in realtà, va bene.
L'ipotesi
B, dunque, è falsa.
Lo scopo delle due ipotesi appena considerate (nel mio intento) era
proprio quello di giustificare la
quadratura del prodotto non nullo
di cinque numeri interi consecutivi.
Se siete arrivati fino a qui, solo per questo siete stati portentosi
A presto.