Alcuni esercizi...

[Bruno]

Premetto che sto scrivendo da un internet point, non avendo
il computer a casa (ero però curioso di leggervi).

Sì, Fields, il mio discorso è quello indicato da Karl.
Penso questo: quali sono i divisori comuni di n e n²(n²-5)+4?
Si vede subito che potrebbero essere solo 1, 2 e 4, proprio
per la presenza di 4 nel secondo numero.
Se però divido n e n²(n²-5)+4 per il loro massimo comun divisore,
chiamiamolo d, n/d e [n²(n²-5)+4]/d diventano primi fra loro
e quindi ciascuno di essi deve essere un quadrato (visto che il loro
prodotto è un quadrato).
Così son passato alle due ipotesi: la prima prende in considerazione
il caso in cui il massimo comun divisore sia 2, mentre l'altra considera
1 e 4 (entrambi quadrati) come massimi comuni divisori.

Cosa ne pensi?

(...) Siccome vedo che poi basi la tua prova su questa affermazione, non vado oltre a leggerla.

Mi farebbe molto piacere che andassi avanti (se ne hai voglia ).

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Giusto, Bruno. Adesso leggo più attentamente. Mi era sfuggito che la prova era per assurdo. Sorry!

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Che dire, Bruno, la tua prova è giusta! Però è complicata, più del necessario. Tuttavia è notevole che tu abbia saputo gestire un numero di casi così intricato!

Per quanto riguarda la falsificazione dell'ipotesi B, si può fare più facilmente. Ecco qua.

Infatti si vede senza difficoltà che $A=(n^2-2)^2-n^2=(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)$ non è quadrato. Infatti, $A=(n^2-4)(n^2-1)$ dunque $A$ è della forma $y(y+3)$ e chiaramente $(y+1)^2<y(y+3)<(y+2)^2$, per $y>=2$, come nel nostro caso.

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A questo punto, scrivo anche la mia dimostrazione.

Consideriamo $A=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$ (con $n>=2$) e supponiamo che $2,3,5$ compaiano tutti con esponente PARI nella fattorizzazione di $A$. Faremo vedere che esiste un primo $p>5$ che compare nella fattorizzazione di $A$ con esponente dispari. Due casi principali. $n$ è pari. $n$ è dispari. Useremo il fatto che né $y(y+3)$ né $y(y+1)$ sono quadrati perfetti, per $y>=2$.

CASO 1) n è pari.

Siano $k_1$,$k_2$,$k_3$ gli esponenti con cui compare $2$ nella fattorizzazione rispettivamente di $n$,$n+2$,$n+4$.

Se $k_1$ è pari, consideriamo $n(n+3)$. Chiaramente $2$, $3$ e $5$ compaiono con esponente pari in $n(n+3)$. Poiché esso non è un quadrato, c'è un primo $p>5$ che compare in esso con esponente dispari, e quindi anche in $A$.

Se $k_3$ è pari, consideriamo $(n+1)(n+4)$. Chiaramente $2$, $3$ e $5$ compaiono con esponente pari in $(n+1)(n+4)$. Poiché esso non è un quadrato, c'è un primo $p>5$ che compare in esso con esponente dispari, e quindi anche in $A$.

Se $k_1$ e $k_3$ sono dispari, allora $k_2$ è pari (infatti, $k_1+k_2+k_3$ deve essere pari). Ma allora consideriamo $B=(n+1)(n+2)$ e $C=(n+2)(n+3)$. Evidentemente $3$ compare con esponente pari in $B$ o in $C$; quindi o in $B$ o in $C$, $2,3,5$ compaiono tutti con esponente pari, e quindi o in $B$ o in $C$ c'è un primo $p>5$ che compare con esponente dispari, non essendo $B$ e $C$ quadrati.

CASO 2) n è dispari.

In questo caso $2$ divide $n+1$ e $n+3$. Si vede dunque facilmente che $2,3,5$ compaiono tutti con esponente pari in $B=n(n+1)(n+2)(n+3)$ o in $C=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$. Poiché il prodotto di $4$ interi consecutivi non è mai un quadrato perfetto (come nel problema di giuseppe87x), o in $B$ o in $C$ c'è un primo $p>5$ che compare con esponente dispari, e che quindi compare con esponente dispari in $A$.

[Bruno]

Ti ringrazio infinitamente, caro Fields, per avermi letto fino all'ultima riga.
D'altra parte, non avevo l'intento di trovare qualcosa di esemplare, ma
di fare un'umile camminata nel problema ed è con questo spirito che mi
avvicino (quando posso) alle questioni di questo forum.
Una volta imboccata quella strada (la prima che ho visto in quel momento),
non mi è stato difficile districarmi nei vari casi: a ogni passo mi facevo una
domanda e quindi cercavo la risposta. Paradossalmente, in un certo senso
è stato perfino quasi facile.
Come capita a tutti, ciascuno di noi può vedere alcune cose che altri non
vedono, e viceversa. Vederle o non vederle fa spesso la differenza ed
è questo che, secondo me, può rendere ogni metodo interessante e
e istruttivo.
Grazie anche per le tue giuste osservazioni sul mio caso B (quello meno
impegnativo), anche se, riguardando ciò che ho scritto, me ne verrebbero
delle altre... ma di questo passo potrei diventare esemplare
Ora stampo la tua prova per leggermela in pace.
Grazie ancora e ciao

[Bruno]

Ciao, Fields

Ho seguito il tuo procedimento e penso proprio che tutto
torni benissimo (salvo stordimenti da caldo...).
Davvero molto interessante e istruttivo.

A presto!

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Grazie, Bruno!