cerchi e triangoli

[*quantico]

Dato un triangolo nel piano euclideo si indico con o il centro della circonferenza in esso inscritta e con t la circonferenza passante per o e per 2 qualsiasi degli altri vertici del triangolo.Provare che il centro di t si trova sulla circonferenza circoscritta al triangolo

[karl]

Siano a,b,c gli angoli del triangolo ABC (vedi fig.) ed E l'incentro di ABC.
Sia poi O l'intersezione di AE col circocerchio di ABC.
Per il teorema degli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco risulta:
OBC=OAC=OAB=OCB=a/2
Pertanto il triangolo BOC e' isoscele su BC e quindi (1) OB=OC
Inoltre risulta :
OBE=a/2+b/2 e per il teorema dell'angolo esterno ad un triangolo
e' pure OEB=EAB+EBA=a/2+b/2
Ne segue che anche il triangolo OEB e' isoscele su EB e dunque (2) OE=OB
Riassumendo da (1 ) e (2) si ricava che OB=OC=OE e cio' prova che
il punto O equidista da B,C ed E ovvero e' il centro della circonferenza passante
per questi 3 punti.D'altra parte O sta sul circocerchio di ABC e la tesi e' provata.
karl