PROBLEMINO STRANO

[*quantico]

Si considerino un cerchio con centro in 'O' e raggio unitario ed una sua corda 'AB'. Si costruisca la circonferenza che ha 'AB' come diametro e sia 'C' un punto su di essa. Quanto vale al variare della corda'AB' e del punto 'C', il massimo della lunghezza 'OC'?

[giuseppe87x]

Si potrebbe fare per via analitica ma penso che i calcoli da fare siano davvero tanti. Mi domando: esiste una soluzione euclidea?

[desko]

Inizio io, ma non completo ancora tutto:

Abbiamo tre gradi di libertà, uno per ogni punto mobile su una circonferenza.
Senza peredere di generalità possiamo ipotizzare A fissato;
Per ogni posizione di B per massimizzare la distanza OC è sufficiente che la retta OC sia diemetrale per la circonferenza di diametro AB: ogni altro punto di tale circonferenza è più vicino ad O.
Quindi è rimasto un solo grado di libertà, ovvero la posizione di B.
Facendo alcune prove si vede facilmente che per massimizzare la distanza occorre che l'angolo AOB sia di 90°.
Ma non ho ancora dimostrato questo fatto.

[laura.todisco]

Questi problemi si possono visualizzare col cabrì, voi lo sapete usare? Io mica tanto ehehehehe però ho visto alcuni esempi di questo tipo. Io preferisco il ragionamento geometrico, ma con questo caldo, piuttosto mi butto a mare..........

[laura.todisco]

Ho iniziato a fare uno schizzo (non di sudore...) disegnando una circonferenza, una retta orizzontale passante per il centro, il punto di intersezione sul lato sinistro lo chiamo A e da A mando una semiretta nel semipiano superiore, limito cioè il caso al semipiano superiore, data la simmetria della figura. Tale semiretta incontra la circ. in B, ed ecco la corda; essa varia con l'angolo x che ho posto tra la retta iniziale e la semiretta AB. L'angolo x varia tra 0 e 90°.
Ora, ho costruito la seconda circonf. di centro O' nel punto medio di AB e dai calcoli risulta il suo raggio pari a $cosx$.
Ora mi chiedo, come devo far variare il punto C sulla nuova circonf.? Occorre almeno un'altra variabile. Alla fine avrò un problema di massimo di una funzione a 2 variabili, credo, se la pressione non mi è calata ancora di più, dato che stamattina era 83/51

[karl]

Per un assegnato valore dell'angolo x la massima distanza di C da O la
si ottiene quando CO e' perpendicolare ad AB.
Sia allora M il punto medio di AB (non indicato in figura) si ha:
AM=CM=MB=cosx,MO=sinx
Pertanto $CO=CM+MO=cosx+sinx=sqrt2sin(pi/4+x)$
Si vede facilmente che il massimo di CO,al variare della
posizione di AB rispetto ad AE (ovvero al variare di x), si ottiene
per $x+pi/4=pi/2$ da cui $x=pi/4$ e cioe' quando AOB=90°
come e' stato gia asserito da desko.
karl

[desko]

Questi problemi si possono visualizzare col cabrì, voi lo sapete usare? Io mica tanto ehehehehe però ho visto alcuni esempi di questo tipo. Io preferisco il ragionamento geometrico, ma con questo caldo, piuttosto mi butto a mare..........

Infatti io ho usato proprio Cabri, per problemi come questo ci vogliono veramente 2 o 3 minuti per arrivareaad intuire (non dimostrare) la soluzionbe giusta.

[laura.todisco]

Ahhhhhhhhhh ma Desko aveva scritto in bianco! me ne sono appena accorta; ieri vedevo una finestra vuota nel suo messaggio. Ora l'ho selezionata e la leggo, ma che tipo

[giuseppe87x]

@Karl
Non dovrebbe essere $MB=sinx$ e $MO=cosx$?

[karl]

Ho seguito le posizioni di Laura e ho posto BAO=x o,cio' che e' lo stesso,
MAO= x e quindi MB=MA=AOcosx=cosx,OM=OAsinx=sinx
karl