ancora quadrati perfetti

[fields]

Un problema carino. Dimostrare che $(2^(p-1)-1)/p$ non è un quadrato perfetto per nessun numero primo $p$, eccetto $p=3$ e $p=7$. Ricordo che $(2^(p-1)-1)/p$ è sempre un naturale, per $p$ primo maggiore di $2$.

[Thomas]

eheh... sono andato a ripescare le poche conoscenze di teoria dei numeri che avevo tipo un annetto fà (non ricordavo granchè!)... del resto l'estate può servire anche a questo, no?? Beh... ditemi se è corretta...

Th: $(2^(p-1)-1)/p$ è un quadrato perfetto solo se p=3 e p=7.

- innanzitutto scartiamo il caso p=2. Il caso p=3 si verifica a mano che verifica. Negli altri casi p è dispari e diverso da 3, e quindi si osserva, osservando l'andamento delle potenze di 2 modulo 3, che il quadrato perfetto deve essere divisibile per 3 (e quindi per 9);

- da quando sopra deve essere

$2^(p-1)-1==0$ mod 9
$2^(p-1)==1$ mod 9

e quindi o$rd_2(9)| p-1$. Ma si sà che 2 è una radice primitica modulo $3^k$ per ogni k e quindi o$rd_2(9)=phi(9)=6$ (oppure anche per calcolo diretto). quindi p-1=6k, ovvero $p=6k+1$;

- sostituendo si ha
$2^(6k)-1=a^2*p$
ovvero, scomponendo:
$(2^(3k)+1)(2^(3k)-1)=a^2*p$
a sinistra vi sono due numeri quasi consecutivi che possono avere come divisore primo comune solo 1 o 2 (si deve verificare). Ma $a$ si nota dalla scrittra iniziale che deve essere dispari e quindi non ha due come fattore. Questo porta a concludere che i fattori sono uno un quadrato e l'altro un quadrato moltiplicato per p. Si distinguono i due casi:

1) $2^(3k)-1$ è un quadrato $->$ solo per k=0, il che porta ad a=0. Negli altri casi è uguale a 3 mod 4, mentre un quadrato è uguale o a 0 o a 1 mod 4;

2) $2^(3k)+1$ è un quadrato $->$ scomponendo $2^(3k)=(b+1)(b-1)$ e le uniche due potenze di due a distanza due sono 4 e 2, ovvero b=3, che dà la soluzione k=1, e quindi p=7;

[fields]

Molto bene!
In ogni caso osservo che non era necessaria nessuna conoscenza di teoria dei numeri per risolverlo. Infatti si poteva osservare che se $2^(p-1)-=1+pa^2$, per $p>7$, $a^2-=1 (mod 4)$, e dunque $p-=3 (mod 4)$, e quindi si arrivava a $(2^(k+1)-1)(2^(k+1)+1)=pa^2$ e si risolveva poi come sopra (più o meno).

[Thomas]

anche tu hai ragione, fields ... dipende dalla prima cosa che "vedi" ....

carino cmq... ciao!