Questioni da poco

[Bruno]

1) Il numero 196364269 è un quadrato perfetto?

2) In quali basi il numero 1331 (scritto in base 10) è un cubo perfetto?

3) Prendiamo un n naturale. La 5ª potenza di n ha la stessa cifra terminale di n.

4) Perché x²-3y² = -1 non ammette soluzioni intere?

[Kroldar]

4) l'iperbole ha asintoti a coefficiente angolare irrazionale

[fields]

2) In tutte le basi x 1331 è un cubo perfetto, purché $x>=4$ , altrimenti non avrebbe senso leggerlo. Infatti, $1331$ in base $x$ è $x^3+3x^2+3x+1$, e dunque diventa $(x+1)^3$.

4) Abbiamo $x^2+1=3y^2$, e per $x$ e $y$ interi la parte destra è divisibile per $3$, ma la parte sinistra no: assurdo.

[giuseppe87x]

1) No.
Infatti è possibile dimostrare per induzione che i quadrati perfetti dispari sono tutti congrui $1$ modulo $8$. In questo caso invece vediamo che $269=33x8+5$, quindi il numero in questione è congruo a $5$ modulo $8$ e non può essere mai un quadrato perfetto.

[giuseppe87x]

4)
D'accordissimo con fields; volevo solo aggiungere questa possibile dimostrazione.

$x^2=3y^2-1$

Notiamo che si hanno i seguenti casi
$x$ pari, $y$ dispari.
$x$ dispari, $y$ pari.

1° caso
$0-=3-1-=2 mod4$ ASSURDO.

2° caso
$1-=-1mod4$ ASSURDO.

[Pachito]

3) In maniera un po' rozza... SI.
Tengo conto solo dell'ultima cifra nelle moltiplicazioni e svolgo le potenze: (ad es. 7x7=9X7=3... dunque 7 9 3...)

ULTIME CIFRE
0 facile
1 1 1 1 1
2 4 8 6 2
3 9 7 1 3
4 6 4 6 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 9 3 1 7
8 4 2 6 8
9 1 9 1 9

C'è da notare che questa regola vale dunque per ogni potenza multipla di 5.
Un'ultima curiosità le 4° potenze (e le potenze multiple di 4) dei numeri non multipli di 5 finiscono tutte per 6 (se pari) e 1 (se dispari).

[laura.todisco]

Avete notato che le sequenze del 3 e del 7 vanno al contario una rispetto all'altra?
Carino!

[Bruno]

E' istruttivo leggervi, anche su questioni relativamente
semplici: bravi

Riguardo alla prima questione, si può anche ricorrere
a questa proprietà carina: se la penultima cifra di un
quadrato dispari è 6, la terzultima dev'essere dispari.

[Fioravante Patrone]

3) In maniera un po' rozza... SI.

adoro i metodi brutali di Pachito!

anche se a questo punto mi domando cosa succeda per altri sistemi di numerazione...

visto che, come dice Bruno, qui c'è tanta gente brava, magari vi viene voglia di rispondere

ciao