n fattoriale

[spassky]

Gauss aveva sette anni e il prof di matematica, visto che facevano casino e non voleva esser disturbato, ordinò alla classe di fare la somma dei numeri da 1 a 100, sperando di tenerli buoni per qualche oretta.
Il buon Gauss, però "fece fesso" il professore inventandosi un metodo generale per sommare i numeri da 1 a n e trovando che da 1 a 100 erano 5050.

$sum_(i=0)^n i = (n*(n+1))/2 $

La dimostrazione è banale e si fa per induzione.

[leonardo12345]

wow

[carlo23]

Ricordando che tra $p$ e $2p$ c'è sempre un numero primo (essendo $p$ numero primo).
Ad esempio supponiamo che nella fattorizzazione di $n!$ ci sia un numero primo $p$; esso ha esponente $1$. Tale esponente diventa pari quando il numero verrà moltiplicato per $2p$, ma nel frattempo si sarà aggiunto un altro numero primo $q$ e così via...

è interessante notare che per risolvere il nostro problema del fattoriale è sufficiente la forma molto più debole

tra $n$ e $n^2$ c'è sempre un numero primo, per $n>=2$

infatti sia $p_k$ il più grande primo minore di $n$ allora $p_k^2>p_(k+1)>n$ e quindi $p||n!$ ovvero $p$ divide $n!$ solo una volta.

[fields]

è interessante notare che per risolvere il nostro problema del fattoriale è sufficiente la forma molto più debole

tra $n$ e $n^2$ c'è sempre un numero primo, per $n>=2$

infatti sia $p_k$ il più grande primo minore di $n$ allora $p_k^2>p_(k+1)>n$ e quindi $p||n!$ ovvero $p$ divide $n!$ solo una volta.

Non mi sembra, carlo23, che basti. Infatti, per dimostrare che $p_k$ divide $n!$ una sola volta devi dimostrare certamente che $2p_k>n$, non basta che $p_k^2>n$.