Disuguaglianza da... pedalò

[Bruno]

Per ogni intero non negativo abbiamo:

[karl]

Scriviamo la relazione cosi':
$(n+2)^n(n+3)^(n+1)>=3^(n+1)[n+1)!]^2$
Procedo per induzione .La relazione e' valida per n=1;riteniamola vera
per un generico valore di n e dimostriamo che e' vera anche per il valore n+1
Sostituendo n con n+1 si ha:
$(n+3)^(n+1)(n+4)^(n+2)={(n+2)^n(n+3)^(n+1)}(n+2)^2((n+4)/(n+2))^(n+2)={(n+2)^n(n+3)^(n+1)}(n+2)^2[(1+1/((n+2)//2))^((n+2)/2)]^2$
Pertanto (ricordando l'ipotesi fatta ,la definizione di e e che risulta 2<e<3) si ha:
$(n+3)^(n+1)(n+4)^(n+2)>=3^(n+1)[(n+1)!]^2(n+2)^2*2^2>=3^(n+1)[(n+1)!]^2(n+2)^2*3$
Ovvero:
$(n+3)^(n+1)(n+4)^(n+2)>=3^(n+2)[(n+2)!]^2$
che e' poi cio' che di doveva dimostrare.
karl

[Bruno]

Ottimo Karl

(Anch'io l'ho dimostrata per induzione, ma seguendo
un'idea meno 'svelta' e carina della tua).