Un altro calcoletto

[Bruno]

C'è un modo veloce per calcolare questa somma:

sen 3° + sen 7° + sen 11° + sen 15° + sen 19° + ... + sen 395° + sen 399° ?

Possiamo usare la calcolatrice scientifica.

[carlo23]

C'è un modo veloce per calcolare questa somma:

sen 3° + sen 7° + sen 11° + sen 15° + sen 19° + ... + sen 395° + sen 399° ?

Possiamo usare la calcolatrice scientifica.

Non ho voglia di fare tutti i calcoli comunque ti dico come trovare una formula generale per la somma dei seni di gradi in progressione aritmetica in un certo intervallo.

Prima di tutto converti i volgari gradi in radianti, in generale $radianti =pi/180 gradi$. Poi scrivi i seni con la formula di Eulero, otterrai due serie con potenze di $e^(i pi/180)$ dove gli esponenti saranno in progressione aritmetica, con un pò di fantasia e la formula esplicita la serie geometrica otterrai il risultato voluto.

[Bruno]

(...) Non ho voglia di fare tutti i calcoli...

Ciao Carlo23

Buona, la tua traccia!

Comunque il quesito è per voi, io il calcolo l'ho già fatto
e in un modo carino (niente di inedito, naturalmente)

[laura.todisco]

Ora ho da fare perchè sabato mattina parto per le mie sospirate vacanze, ma velocemente partirei dalla somma del primo e l'ultimo argomento, poi del secondo e del penultimo... osservo che tale somma è uguale; poi applicherei forse le formule di prostaferesi... insomma proverei così. Ma ora il tempo stringe e vi saluto tutti. Ci rivediamo a fine agosto!
Ciao.

[carlo23]

Ora ho da fare perchè sabato mattina parto per le mie sospirate vacanze, ma velocemente partirei dalla somma del primo e l'ultimo argomento, poi del secondo e del penultimo... osservo che tale somma è uguale; poi applicherei forse le formule di prostaferesi... insomma proverei così. Ma ora il tempo stringe e vi saluto tutti. Ci rivediamo a fine agosto!
Ciao.

Non danniamoci con le prostaferesi

Dati $q,r in N$ e $x in RR-NN$ sia $a_n=qn+r$, abbiamo

$sin(a_0x)+sin(a_1x)+sin(a_2x)+...+sin(a_nx)=1/2 (e^(ia_0x)-e^(-ia_0x)+e^(ia_1x)-e^(-ia_1x)+...+e^(ia_nx)-e^(-ia_nx))$

e

$e^(ia_0x)+e^(ia_1x)+...+e^(ia_nx)=e^(ix r) (1+e^(qix)+e^(2qix)+...+e^(nqix))=e^(ix r) (e^((n+1)qix)-1)/(e^(qix)-1)$

analogamente

$e^(-ia_0x)+e^(-ia_1x)+...+e^(-ia_nx)=e^(-ix r) (1+e^(-qix)+e^(-2qix)+...+e^(-nqix))=e^(-ix r) (e^(-(n+1)qix)-1)/(e^(-qix)-1)$

il risultato sarebbe presto ottenuto, certo che se un vuole poi usare la formula in pratica deve esprimere tutti gli esponenziali complessi in termini di seno e coseno e c'è un pò da fare....

[Bruno]

(...) certo che se un vuole poi usare la formula in pratica...

...in effetti, bisognerebbe far questo

[carlo23]

(...) certo che se un vuole poi usare la formula in pratica...

...in effetti, bisognerebbe far questo

Dai la via l'ho indicata, come ho detto non ho voglia di far calcoli

[Bruno]

Vabbe'... sotto il prossimo, allora
In effetti, non ci sarebbe bisogno di perdersi in calcoli.
Ecco, forse basterebbe qualche 'informazione' in più
(niente di nuovo sotto il sole, però è probabile che ciò
non sia poi così disponibile...) e sicuramente qualche
opportuna osservazione.
Hint: La via di Carlo è già stata formulata...


Edit:

PS - L'idea che ho in mente per questo quiz proviene da lontano.
L'ho trovata in una nota rivista di matematica pubblicata
all'inizio del secolo scorso (!), nella sezione in cui venivano
risolti dagli studenti delle superiori vari problemi proposti dagli
insegnanti.
Il metodo (diciamo così) era ordinariamente utilizzato già allora
e per me, comunque, è una simpatica curiosità.
Magari ci sono altri sistemi, però, ben più interessanti.
Chissà!

[Bruno]

Prima di lasciarlo andare in "mare aperto",
dico a cosa pensavo proponendo questo quiz.
Il problema, come accennavo, viene da lontano:
l'ho scoperto in un periodico di argomenti matematici
dei primi anni del '900 (rivolto soprattutto agli
studenti e agli insegnanti delle scuole superiori).
Ciò che mi ha colpito è stato il fatto che, per
risolverlo, si può utilizzare un'identità molto carina
(che ho rivisto pure in qualche manuale moderno),
questa:

sen (a)+sen (a+h)+sen (a+2h)+ ... +sen [a+(n-1)h]
= sen (½nh)·sen [a+½(n-1)h]/sen (½h)

e lo stesso Carlo23 sarebbe arrivato probabilmente
a tale risultato.

L'intervento di Laura ha richiamato un'idea (somma
del 1° e dell'ultimo argomento, del 2° e del penultimo
etc.), che ritroviamo nella somma dei primi numeri
naturali.
In effetti, quest'ultima operazione sappiamo
compierla tutti in un batter d'occhio:

1+2+3+4+...+n = ½n(n+1).

D'altra parte, la somma trigonometrica postata
all'inizio si può calcolare così:

S = sen 3°+sen 7°+sen 11°+ ... +sen 399° = sen 200° ·sen 201°/sen 2°

e la somiglianza si lascia subito apprezzare (a me
è piaciuta, almeno).
E' vero, inoltre, che possiamo pure non applicare
quell'identità a tutti i cento angoli indicati, dal
momento che il 90% dei seni si annulla, in quanto
i rispettivi argomenti differiscono di 180° (ciò vuol
dire che la nostra somma si semplifica notevolmente).
Quindi potremmo anche scrivere, per esempio:

S = sen 3°+sen 7°+sen 11°+ ... +sen 39° = sen 20° ·sen 21°/sen 2°.

Un saluto a tutti