Ancora potenze di interi consecutivi

[giuseppe87x]

Dimostrare che il prodotto di $k$ interi positivi consecutivi non è mai una $k-esima$ potenza di un intero.

[carlo23]

Dimostrare che il prodotto di $k$ interi positivi non è mai una $k-esima$ potenza di un intero.

Hai dimenticato di scrivere consecutivi?

[giuseppe87x]

Corretto, comunque l'avevo scritto nel titolo

[giuseppe87x]

E allora nessuno ci prova?

[carlo23]

Dimostrare che il prodotto di $k$ interi positivi consecutivi non è mai una $k-esima$ potenza di un intero.

Se $k=2$ è facile dimostrare che è impossibile. Prendiamo $k>=3$.

Per assurdo, se $(n+1)(n+2)...(n+k)=a^k$ allora $n+1<a<n+k$ quindi $a+1$ appare nel prodotto e esiste un primo $p$ che divide $a+1$, da cui $p|(n+1)(n+2)...(n+k)$ e $p|a$, ma ciò è impossibile poichè $a -= -1 mod p$.