Equazione diofantea con 2 e 7

[carlo23]

Dimostrare che per ogni $n in NN-{0,1,2}$ l'equazione diofantea

$2^n=7x^2+y^2$ con $x,y$ interi positivi dispari

ha una e una sola soluzione.

Sugg. Dimostrare prima l'esistenza delle soluzioni, poi l'unicità

[carlo23]

Semplicemente svolgendo i calcoli possiamo dimostrare che

(1)$7((x+-y)/2)^2+((7x -+ y)/2)^2=2(7x^2+y^2)$

(2)$7((x+-y)/4)^2+((7x -+ y)/4)^2=1/2 (7x^2+y^2)$


definiamo le due successioni ${x_n}_(n>=3),{y_n}_(n>=3)$

$x_3=1$
$y_3=1$
$x_(n+1)=1/2 |x_n-(-1)^((x_n+y_n)/2)y_n|$
$y_(n+1)=1/2 |7x_n+(-1)^((x_n+y_n)/2)y_n|$

grazie alla formula (1) possiamo dimostrare per induzione che per ogni $n>=3$ si ha $2^n=7x_n^2+y_n^2$ e anche che $x_n,y_n$ sono interi positivi e dispari, abbiamo quindi dimostrato l'esistenza delle soluzioni.

Per assurdo dimostriamone l'unicità, sia $m$ il più piccolo intero tale che la nostra equazione ha più di una soluzione, esistono quindi $z!=x_m,w!=y_m$ interi positivi dispari tali che $2^m=7z^2+w^2$. Per la formula 2 sia ha

$2^(m-1)=7((z+-w)/4)^2+((7z -+ w)/4)^2$

ragionando $mod 4$ si trova che per un opportuna scelta dei simboli i quadrati sono interi. A causa della minimalità di $m$ deve essere

$x_(m-1)=(z+-w)/4$
$y_(m-1)=(7z -+ w)/4$

ed è sufficiente utilizzare le formule iterative per le $x$ e le $y$ per trovare $z=x_m,w=y_m$, ma ciò contraddice le ipotesi e abbiamo anche dimostrato l'unicità delle soluzioni dispari.

[carlo23]

Ecco allora un problema più facile, in base hai risultati di sopra dimostrare che per $n>=3$ l'equazione ha esattamente $[(n-1)/2]$ soluzioni (pari e dispari), $[*]$ è la parte intera inferiore