Gioco di carte apparentemente banale

[Platone]

Si sta giocando al gioco delle tre carte. Il giocatore indica una carte. A questo punto il banco scopre una delle altre due carte (ovviamente scopre una carta non vincente). A questo punto si ha la possibilità di cambiare carta o continuare a giocare sulla stessa.
Cosa conviene fare?

Questo giochetto (che sembra tanto stupido), ha fatto cadere lo stesso Erdos, e con lui una miriade di matematici.
Anch'io nel mio piccolo non avrei esitato a dare la risposta che diedero loro.
Anche se molti di voi avranno già sentito parlare di questo gioco, per il momento voglio vedere cosa rispondete, e per questo non do la soluzione.
Ho aperto questo topic perchè voglio capire col vostro aiuto cos'ha di patologico questo problema apparentemente così semplice.

Platone

[Andrea2976]

Ciao,

la risposta è: cambiare la carta!

La patologia secondo me discende dalla definizione di "probabilità di un evento" che non è possibile definire intrinsecamente.

[Platone]

Certo, oramai è risaputo che la risposta è quella.
Ma praticamente come ci arrivi a quel risultato?
Facendo un discorso un po' più formale, si dovrebbe avere che la probabilità che il premio sia dietro la prima carta scelta sia minore rispetto all'altra carta.
Ma, inizialmente le tre carte hanno tutte la stessa probabilità, mentre successivamente (usando la probabilità condizionata), l'ulteriore informazione in mio possesso è che so con certezza una delle tre carte che non vince. A questo punto "ridistribuisco la mia fiducia" tra le due carte rimaste" (come ale volte si usa dire) e ottengo un'eguale probabilità del 50%.
Perchè nel momento in cui rimangono solo due carte dovrei ripartire in maniera non equa la "mia fiducia" tra di esse?
Forse (o meglio, evidentemente) la risposta sta nel fatto che quando si scopre una carta, non si scopre una carta a caso tra le tre, ma tra le altre due non scelte dal concorrente. Ma se è così, come questo entra formalmente nel calcolo della probabilità dell'evento?

Non so cosa intendi per definizione intrinseca, ma accettando la definizione basata sugli assiomi di Kolmogorof (al 99% non si scrive così), che è una definizione "operativa", a prescindere poi dai possibili riscontri empirici (tipo simulazione random al computer dell'evento un numero statisticamente alto di volte), formalmente non dovrebbero esserci cmq problemi.
Nel caso quest'ultimo possaggio non sia stato chiaro, ecco un esempio chiarificatore.
Quello che voglio dire e che, per esempio, a prescindere se nella realtà la geometria che governa il modo sia quella euclidea o meno, una volta che si fissano gli assiomi, all'interno di quel sistema le cose "funzionano"; no?
Stessa cosa credo debba valere per la teoria della probabilità.

Aspetto commenti.

Platone

[fields]

Mah, io non vedo perché chiamare in causa gli assiomi della probabilità per un problema così banale. Basta un semplice ragionamento. Tu hai tre carte. La probabilità che scegliendone una a caso c'azzecchi quella giusta è 1/3. Quindi poi conviene cambiare la carta semplicemente perché la probabilità che tu abbia sbagliato è 2/3, e quindi la probabilità che la carta giusta sia l'altra rimasta è 2/3!

Si capisce meglio ragionando così. Immagina che invece che 3 carte ce ne siamo 1000. Il banco ti dice: scegli una carta. Poi il banco scarta tutte le altre 998 sbagliate, lasciandone solo 2, di cui una è la tua. La probabilità che tu abbia sbagliato è 999/1000. Quindi la probabilità che la carta vincente sia quell'altra rimasta (non la tua) è 999/1000. Direi che conviene cambiare!

[Andrea2976]

Ciao (di nuovo),

Per Platone: al posto di "intrinseca" forse avrei dovuto usare "oggettiva". Il problema sta in come vedi il gioco e quindi lo spazio sottostante, la mia logica mi porta a vedere il gioco come una successione di due eventi non indipendenti e quindi la risposta è: "cambiare la carta". Infine, come dici tu, fissate le regole il tutto funziona ma qui ci si sta chiedendo quale siano le regole da adottare.
P.S. La patologia risiede nel fatto che alcune volte non esiste una sola probabilità "oggettiva". Se sei interessato, magari, puoi cercare il paradosso de: "L'ago di Buffon" (non è il portiere).


Per Fields: il ragionamento è quello ma le probabilità che hai menzionato son sbagliate (anche tenere la carta iniziale costituisce una scelta e quindi un evento)
Prob(Vittoria cambiando la carta)=2/3*1/2
Prob(Vittoria non cambiando la carta)=1/3*1/2

[fields]

No, Andrea2976, le probabilità sono quelle che ho detto io. La probabilità di vincere cambiando carta è 2/3. Se come dici il ragionamento è giusto, devi accettarne anche le conclusioni.

E poi se se sommi le probabilità che hai ottenuto, 2/6 e 1/6, hai che la somma è minore di 1! Del resto tu dici: Prob(Vittoria non cambiando la carta)=1/3*1/2. Sbagliato! Infatti,

Prob(Vittoria non cambiando la carta)=Prob(Di aver scelto al primo colpo la carta giusta)=1/3

[Andrea2976]

Ciao Fields,

la somma delle probabilità di tutti gli eventi deve dar uno, quelli son solo due...deve metterci anche "la probabilità di perdere cambiando la carta" e "la probabilità di perdere non cambiando la carta".

[fields]

Andrea2976, quello che dici è vero in generale ma in questo caso particolare abbiamo

Prob(vittoria SE cambi carta)=Prob(di non aver scelto al primo colpo la carta giusta)=2/3

Prob(vittoria SE non cambi carta)=Prob(di aver scelto al primo colpo la carta giusta)=1/3

Da ciò risulta che la miglior strategia è quella di cambiare carta.

Inoltre, Prob(vittoria SE cambi carta)+Prob(vittoria SE non cambi carta)=1.

Credo che la tua errata interpretazione sia questa. Qui non sono in gioco due eventi, ma ci si chiede la probabilità di un singolo evento, ovvero la probabilità di vincere SE cambi carta, e la probabilità di vincere SE non cambi carta, cioé ci si chiede la probabilità di vincere adottando una particolare strategia fissata, quindi in realtà si compie una sola scelta, non due.

[Andrea2976]

Riciao,

a me sembra tutto molto ridondante cmq...sia che tu veda il gioco come un solo evento sia come due la strategia migliore è: cambiare la carta.

La patologia non risiede nel fatto che siano uno o due eventi (infatti cmq sia...la strategia migliore è: cambiare la carta (maledette carte)).
L'unico modo di vederla, "a mio avviso", è considerare il gioco in due eventi e chiedersi: sono indipendenti?

(Più che altro, visto che alla fine mi ritrovo a sciegliere tra due carte, la scelta precedente influenza il gioco?)

Questo, di cui sopra, è il vero dilemma.

P.S. Per inciso sia il mio modo di veder il gioco sia il tuo sono equivalenti perché portano alla stessa conclusione, ma come già esposto "non è questo il problema".

[fields]

Be', i nostri approcci non sono equivalenti se portano a calcolare 2 diverse probabilità. Il fatto che tu concluda che la migliore strategia sia quella di cambiare carta, come è effettivamente corretto, ma poi calcoli una probabilità sbagliata, significa che il tuo ragionamento non è corretto.