ficus2002 ha scritto:Comunque, ho trovato un'altra dimostrazione della proprietà di moltiplicatività della funzione di eulero:
Dati $m,n$ corpimi, sia ${r_1, r_2, \ldots, r_j}$ (con $j=phi(m)$) un sistema ridotto di residui modulo $m$ e sia ${s_1, s_2, \ldots, s_k}$ (con $k=phi(n)$) un sistema ridotto di residui modulo $n$.
Sia $x$ un elemento di un sistema ridotto di residui modulo $mn$. Poichè $(x,mn)=1$ e $(m,n)=1$ è anche $(x,m)=(x,n)=1$, quindi per la definizione di sistema ridotto, esistono $r_i, s_h$ tali che
$x\equiv r_i (mod m)$
$x\equiv s_i (mod n)$
Quindi $x$ determina univocamente una coppia $(r_i,s_h)$. Viceversa, per il teorema cinese del resto la coppia $(r_i,s_j)$ determina un solo $x$ modulo $mn$. Vi è quindi una corrispondeza biunivoca tra il sistema ridotto di residui modulo $mn$ e le coppie $(r_i,s_j)$.
Con il linguaggio dell'algebra, ciò equivale a provare che $ZZ_{mn}$ e $ZZ_m oplus ZZ_n$ sono isomorfi.
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