successione definita per ricorrenza

[ficus2002]

Determinare l'espressione esplicita della successione $x_n$ definita per ricorrenza ponendo
$x_{n+1}=(x_{n}+a)/(x_{n}+1)$
con $x_0=0$.

[Tipper]

$x_n=\frac{n \cdot a}{(n-1)a+1}$ ?

[ficus2002]

$x_n=\frac{n \cdot a}{(n-1)a+1}$ ?

La risposta è errata. Osserva che se $y_n=\frac{n \cdot a}{(n-1)a+1}$ allora
$(y_n+a)/(y_n+1)\ne y_n$

[karl]

Ho una soluzione diversa da quella di Tipper e che ho determinato
con la sostituzione $x_n=(y_n)/(y_(n+1))+1$
Tale sostituzione trasforma la relazione proposta in una equazione
lineare alla differenze che puo' essere risolta con gli ordinari metodi
dell'analisi discreta .Comunque ho anche una soluzione elementare
adatta a tutti.Il risultato finale ,ottenuto con calcoli che non riporto
perche' lunghi,e':
$x_n=sqrt(a)* [(1+sqrta)^n-(1-sqrta)^n]/[(1+sqrta)^n+(1-sqrta)^n]$
formula che andrebbe discussa al variare del parametro a.
Salvo errori.
karl

[ficus2002]

Ho una soluzione diversa da quella di Tipper e che ho determinato
con la sostituzione $x_n=(y_n)/(y_(n+1))+1$

Grandissimo!! la soluzione è corretta ma io l'ho determinata con un altro metodo, però la tua sostituzione mi piace parecchio...come l'hai dedotta?

[karl]

In verita' il mio merito e' relativo perche' si tratta di un fatto generale.
Tutte le equazioni alle differenze del tipo:
$x_(n+1)*x_n+A_nx_n+B_nx_(n+1)=C_n$
dove $A_n,B_n,C_n$ sono funzioni di n ( in particolare costanti)
sono riconducibili ad una equazione alle differenze lineare
con la sostituzione $x_n=(y_n)/(y_(n+1))-A_n$
Nel nostro caso e' $A_n=-1 $ come si puo' vedere riducendo a
forma intera la relazione indicata e lasciando a secondo membro il parametro a
karl

[blackdie]

scusa karl,potresti postare la tu soluzione elementare?

[karl]

La soluzione per essere elementare lo e' ma ha un suo costo in termini
di calcoli.
Poniamo dunque
(0) $x_(n+1)=(y_(n+1))/(z_(n+1))$
O cio' che e' lo stesso:
(1) $x_n=(y_n)/(z_n)$
Ed inoltre :
(2) $y_(n+1)=y_n+az_n,z_(n+1)=y_n+z_n$
(queste ultime relazioni si ottengono copiando praticamente il numeratore
ed il denominatore della relazione proposta)
E' facile vedere che sostituendo le (2) nella (0) e considerando la (1)
si ottiene la relazione proposta da ficus.
Moltiplichiamo ora la seconda delle (2) per una indeterminata t e sommiamo
con la prima, sempre delle (2):
(3) $y_(n+1)+tz_(n+1)=(1+t)y_n+(a+t)z_n$
Scegliamo ora t ( e qui sta la sostanza del metodo) in modo che si abbia:
$a+t=t(1+t)$ da cui
(4) $t^2-a=0$
In tal modo la (3) diventa.
$y_(n+1)+tz_(n+1)=(1+t)[y_n+tz_n]$
Facendo variare l'indice da n a 0 ,moltiplicando membro a membro e
semplificando opportunamente, si ottiene la relazione:
$y_(n+1)+tz_(n+1)=(1+t)^(n+1)[y_(o)+tz_o]$
Ora essendo per ipotesi $x_o=0$ dalla (1) si ricava che deve essere
necessariamente $y_o=0,z_o=qualunque$ (purche' non nullo !)
Pertanto ,scegliendo zo=1,si ha:
$y_(n+1)+tz_(n+1)=t(1+t)^(n+1)$
oppure:
$y_n+tz_n=t(1+t)^n$
Sostituendo in tale formula le radici della (4) si ricava il sistema:
$((y_n-sqrtaz_n=-sqrta(1-sqrta)^n),(y_n+sqrtaz_n=sqrta(1+sqrta)^n))$
che risolto fornisce yn e zn:
$((y_n=sqrta[(1+sqrta)^2-(1-sqrta)^n]//2),(z_n=[(1+sqrta)^2-(1-sqrta)^n]//2))$
Sostituendo nella (1) si ha infine:
$x_n=sqrt(a)* [(1+sqrta)^n-(1-sqrta)^n]/[(1+sqrta)^n+(1-sqrta)^n]$
Mi rendo conto che il metodo puo' apparire lungo ma io ho fatto praticamente tutti
i passaggi che naturalmente,una volta appresa la sostanza del metodo stesso,si
possono eliminare.Il procedimento e' applicabile a tutte le ricorsioni bilineari
ovvero del tipo:
$x_(n+1)=(ax_n+b)/(cx_n+d)$ con a,b,c,d costanti definite e tali che
$ad-bc ne 0$
karl