carlo23 ha scritto:Sia $n$ un intero positivo e $S_n={n+1,n+2,n+3...n+8}$
Dimostrare che non esiste nessun $n$ per cui sia verificata la seguente condizione
1) Per ogni $a in S_n$ esiste $b in S_n$ tale che $b!=a$ e $gcd(a,b)>1$
Ciao Ciao
In altri termini esiste un elemento in $S_n$ coprimo con tutti gli altri.
Se c'è un numero in $S_n$ non divisibile per $2,3,5,7$, abbiamo il numero cercato.
Supponiamo allora che ogni numero in $S_n$ sia divisibile per qualcuno fra $2,3,5,7$.
Osserviamo che ci sono due numeri $h,k$ in $S_n$ non divisibili né per $2$ né per $3$. Infatti $4$ numeri sono divisibili per $2$ e fra i rimanenti al massimo due sono divisibili per $3$: altrimenti avremmo due numeri dispari la cui differenza è $3$, che è assurdo.
Ora, $h$ e $k$ non sono entrambi divisibili per $5$ o entrambi per $7$, altrimenti la differenza sarebbe $5$ o $7$, assurdo perché $h$ e $k$ sono dispari.
Dunque, senza perdita di generalità $h$ è divisibile per $5$ e $k$ per $7$.
Se $k$ è l'unico numero in $S_n$ divisibile per $7$, allora $k$ è coprimo con tutti gli altri.
Se esiste un altro numero $j$ in $S_n$ divisibile per $7$, allora, senza perdità di generalità, $j=n+1$ e $k=n+8$. Ma allora dovrebbero esistere $6$ interi consecutivi ciascuno divisibile per uno fra i primi $2,3,5$, ed è assurdo. Infatti, $3$ numeri sarebbero divisibili per $2$ e fra i rimanenti dovremmo avere che due dovrebbero essere divisibili entrambi per $5$ o per $3$, ma la lora differenza dovrebbe dunque essere $3$ o $5$ mentre invece è pari.