Funzione aritmetica $\omega$ (semplice)

[carlo23]

Sia $omega(n)$ la funzione che restituisce il numero di numeri primi che dividono $n$.

Calcolare il limite inferiore e superiore di $(omega(n))/(omega(n+1))$ per $n in NN^+$

[Thomas]

non sono molto sicuro del teoremone che ho utilizzato... ma mi pare venga $0$ e $infty$.... o no?

[carlo23]

non sono molto sicuro del teoremone che ho utilizzato... ma mi pare venga $0$ e $infty$.... o no?

Dovrebbe venire $pi^2$ e $e^12$

Dai posta la tua soluzione, non basta il risultato!

Tra l'altro sono curioso di sapere che teoremone hai usato...

[Thomas]

Ok... credo si chiami teorema di Dirchlet. Ovvero, presi $a$ e $b$ primi tra loro esistono infiniti primi della forma $ax+b$... (la serie aritmetica contiene infiniti primi)... almeno credo fosse così. In tal caso dimostro per esempio che non esiste massimo:

prendo $a=p_1p_2...p_m$ e $b=1$. Esiste un primo (anche infiniti!) t.c. $p=ax+1$. Prenso allora $n=ax$, si ha:

$omega(n)>=m$, $omega(n+1)=1$, da cui $(omega(n))/(omega(n+1))>=m$...

vista l'arbitrarietà di m non esiste massimo...

analogamente con $b=-1$ (o $b=p_1p_2...p_m-1$) si dimostra che ci si può avvicinare indefinitamente a zero...

funzia?

[carlo23]

Si è il teorema di Dirichlet... la tua dimostrazione è giusta anche se non è necessario usare mezzi così pesanti.

Calcolo il limite superiore.

Prendiamo $n=2^(2^k)-1$, allora sarà

$n=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^(2^2)+1)...(2^(2^(k-1))+1)=F_0 F_1 F_2 ... F_(k-1)$

dove $F_n$ è l'ennesimo numero di Fermat. Sappiamo (e si dimostra proprio con l'identità sopra) che per $i != j$ $gcd(F_i,F_j)=1$, quindi

$\omega(n)=\omega(F_0)+\omega(F_1)+\omega(F_2)+...+\omega(F_(k-1))>=k$

e del resto $\omega(n+1)=1$. Quindi il limite superiore $(\omega(n))/(\omega(n+1))$ è uguale a $infty$.

Vediamo se qualcuno ha qualche idea per il limite inferiore