Primoriale maggiorato !!

[carlo23]

Siano $p_1,p_2,p_3...$ tutti i numeri primi in ordine crescente, dimostrare che

$p_1p_2p_3...p_n >= p_(n+1)+p_(n+2)$ per ogni $n>2$

...ah dimenticavo, non usate il postulato di Bertrand

[Thomas]

Provo ad usare il metodo di euclide che lui usò per dimostrare l'infinità dei numeri primi più una induzione... supponiamo quindi per ipotesi induttiva la tesi per $(n-1)$.

Premessa:
per trovare un bound superiore su $p_(n+2)$ si può procedere così:

siano $p_1,...,p_n,p_(n+1)$ i primi $n+1$ primi. Prendo un $k>p_(n+1)$. Supponiamo che $p_(n+2)>k$. Se date le ipotesi riesco ad ottenere un numero minore di $k$ e non divisibile per i primi $n+1$ primi ho una contraddizione, in quanto questo numero sarebbe primo. Da cui $p_(n+2)<=k$.

Oss: Euclide dice che $k=p_1p_2...p_(n+1)+1$ soddisfa le ipotesi.

tesi: vale anche per $k=u=p_1p_2...p_n-p_(n+1)$, il che porterebbe a $p_(n+2)<=u$, ovvero la tesi per $n$.

dim: supponiamo che $p_i|u$ con $1<=i<=n$, ma allora $p_i|p_(n+1)$. Contraddizione. Supponiamo che $p_(n+1)|u$, ma analogamente
$p_(n+1)|(p_1..p_n)$. Contraddizione. Quindi u non è divisibile per i primi $(n+1)$ primi.

Rimane da fare vedere che $u>=p_(n+1)$, ovvero che $(p_1...p_n)/2>=p_(n+1)$. Arrivati a questo punto, per ipotesi induttiva vale che $p_1p_2p_3...p_(n-1) >= p_n+p_(n+1)$ ovvero che $p_1p_2p_3...p_(n-1)-p_n >= p_(n+1)$. Chiamato per comodità $p_1...p_(n-1)=a$ questa si riscrive come $p_(n+1)<=a-p_n$, se valesse $a-p_n<=(a*p_n)/2$ (vera per $p_n>=2$) per transitività $p_(n+1)<=(a*p_n)/2$, ovvero la tesi.

c.v.d.

spero sia corretta...

[carlo23]

...Rimane da fare vedere che $u>=p_(n+1)$

In realtà è sufficiente dimostrare che $u>1$.

Sembra tutto corretto, bravo!

[Thomas]

graziecarlo ...

In effetti hai ragione, si conclude perfettamente anche senza quella ipotesi… e del resto, una volta capito ciò (ovvero che $u>=p_(n+2)$ segue direttamente), è ovvio che $p_(n+1)<=u$, senza induzione... se fosse $p_(n+1)>u$, sarebbe $p_(n+1)>u>=p_(n+2)$, assurda per l’ordinamento stabilito tra i primi…

Ciao!

[carlo23]

graziecarlo ...

In effetti hai ragione, si conclude perfettamente anche senza quella ipotesi… e del resto, una volta capito ciò (ovvero che u>=p_(n+2) segue direttamente), è ovvio che $p_(n+1)<=u$, senza induzione... se fosse $p_(n+1)>u$, sarebbe $p_(n+1)>u>=p_(n+2)$, assurda per l’ordinamento stabilito tra i primi…

Ciao!

Già, attenzione solo ai dollari cha vanno sempre in coppia

[Thomas]

Già, attenzione solo ai dollari cha vanno sempre in coppia

Eheh… ho corretto… anche se non è solo colpa mia… il mio PC dà i numeri stasera