Disuguaglianza

[giuseppe87x]

Dimostrare la disuguaglianza

$|x^(alpha)-y^(alpha)|<=|x-y|^(alpha)$

per ogni $alpha$ razionale compreso tra 0 e 1, per ogni $x, y>=0$.

[karl]

Uso "a" invece di $alpha$.
Poiche' non vi sono restrizioni adopero un po' di analisi.
Escludendo i casi banali in cui una od entrambe le variabili
x,y siano nulle,possiamo supporre $x>=y>0$ altrimenti
si scambia il ruolo delle variabili.
Consideriamo ora la funzione ( $(R^+)x(R^+)->R$)
$f(x,y)=x^a-y^a-(x-y)^a$
Ponendo x=yz con $z>=1$ si ha:
$f(x,y)=y^a[z^a-1-(z-1)^a]$
Studiamo ora la funzione ausiliaria
$u(z)=z^a-1-(z-1)^a$ continua per $z>=1$ e derivabile per $z>1$
Risulta:
$u'(z)=a/(z^(1-a))-a/((z-1)^(1-a))$
Quindi $u'(z)<0 $ per z>1 mentre $lim_(z->1^+)u'(z)=-oo$
Ne segue che u(z) e' strettamente decrescente nel suo dominio.
D'altra parte e' u(1)=0 e quindi per z>1 sara' $u(z)<u(1)=0$
e cio' prova che $f(x,y)<0$ ovvero che $x^a-y^a<(x-y)^a$
karl

[fireball]

Questa disuguaglianza viene utilizzata
in Analisi quando si trattano le funzioni
holderiane... Pensate che sul mio libro
compare ma la dimostrazione è volutamente omessa...

[giuseppe87x]

Ok Karl.
Pensi si possa fare anche senza l'ausilio dell'analisi?

[karl]

@giuseppe87x
Sicuramente una soluzione elementare c'e'.
Mi pare mi sia capitata tra le mani,ma non la ricordo piu'.
karl