Dimostrare che la media aritmetica dei numeri:
$2sin2°,4sin4°,6sin6°,...,90sin90°,92sin92°,...,178sin178°,180sin180°$
e' $cot1°$
karl
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da Eredir » 17/08/2006, 21:18
La media aritmetica della successione può essere scritta come $sum_(k=1)^(90) (2 k sin(2 k))/90$.
Utilizzando l'identità $sum_(k=1)^(n) k sin(k a) = 1/4 csc^2(a/2)[(n+1)sin(n a) - n sin((n+1)a)]$ riscrivo l'espressione come $(91 sin(180) - 90 sin(182))/(180 sin^2(1))$.
Poichè $91 sin(180) = 90 sin(180) + sin(180) = 90 sin(180)$ ottengo $-(sin(182)-sin(180))/(2sin^2(1))$.
Osservo che $sin(182)-sin(180) = 2sin((182-180)/2)cos((182+180)/2)=2sin(1)cos(181)$ ed anche $cos(181) = cos(180)cos(1)-sin(180)sin(1)=-cos(1)$.
Sostituendo $-(sin(182)-sin(180))/(2sin^2(1)) = -cos(181)/sin(1) = cos(1)/sin(1) = cot(1)$, ovvero la conclusione.
Per riferimenti riguardo l'identità usata vedere qui.
Utilizzando l'identità $sum_(k=1)^(n) k sin(k a) = 1/4 csc^2(a/2)[(n+1)sin(n a) - n sin((n+1)a)]$ riscrivo l'espressione come $(91 sin(180) - 90 sin(182))/(180 sin^2(1))$.
Poichè $91 sin(180) = 90 sin(180) + sin(180) = 90 sin(180)$ ottengo $-(sin(182)-sin(180))/(2sin^2(1))$.
Osservo che $sin(182)-sin(180) = 2sin((182-180)/2)cos((182+180)/2)=2sin(1)cos(181)$ ed anche $cos(181) = cos(180)cos(1)-sin(180)sin(1)=-cos(1)$.
Sostituendo $-(sin(182)-sin(180))/(2sin^2(1)) = -cos(181)/sin(1) = cos(1)/sin(1) = cot(1)$, ovvero la conclusione.
Per riferimenti riguardo l'identità usata vedere qui.
Problem:
To Catch a Lion in the Sahara Desert.
The Schrödinger method:
At every instant there is a non-zero probability of the lion being in the cage. Sit and wait.
To Catch a Lion in the Sahara Desert.
The Schrödinger method:
At every instant there is a non-zero probability of the lion being in the cage. Sit and wait.
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Eredir - Average Member
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