Ogni n è somma di distinti F

[carlo23]

Dimostrare che ogni numero intero positivo è somma di distinti numeri di Fibonacci (nel senso indice distinto, ad esempio $F_0$ è distinto da $F_1$ nonostante sia $F_0=F_1=1$).

è solo questione di trovare la giusta idea...

[Celine]

Se non ricordo male la rappresentazione è anche unica...
non è il teorema di Zeckendorf?

[carlo23]

Se non ricordo male la rappresentazione è anche unica...
non è il teorema di Zeckendorf?

Ricordi male la rappresentazione non è unica... a meno che sia introdotta la condizione "numeri di Fibonacci non consecutivi", in tal caso si è proprio il teorema di Zeckendorf.

PS il teorema di Zeckendorf è decisamente più difficile da dimostrare del problema che ho posto

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Per induzione su $n$. Supponiamo vera la tesi per ogni $m<n$ (induzione forte).

Ovviamente possiamo supporre $F_k<n<F_{k+1}$, per un opportuno $k$. Per ipotesi induttiva $n-F_k=F_{a_1}+...+F_{a_h}$.
Ma allora $n=n-F_k+F_k=F_{a_1}+...+F_{a_h}+F_k$. Gli addendi sono distinti perché $n-F_k<F_{k+1}-F_k=F_{k-1}<F_k$.

buona serata!

[carlo23]

Si si come dicevo è facile basta trovare l'idea giusta

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In effetti, carlo, la proprietà è banale. Anzi, vale per qualunque successione infinita crescente $a_1,a_2,...., a_n,...$ di naturali tale che $a_{n+1}<=2a_n$ e $a_1=1$.