Punti in un cerchio

[carlo23]

Sia $C(r)$ una circonferenza nel piano di raggio $r$ e determinato centro. Definiamo

$f(r)=|{(x,y) in ZZ^2: (x,y) in C(r)}|$

ovvero $f$ indica il numero di punti a coordinate intere che sono contenuti nella circonferenza $C$.

Esiste $C$ tale che per ogni $n in NN$ esista $r in RR$ tale che $f(r)=n$?

[Pachito]

Semplifico il problema dimostrando che esiste un punto $C in RR^2$ (il centro della circonferenza) tale che non esistano due punti in $ZZ^2$ tale che sia uguale la loro distanza da C.
Sia ${C_x,C_y}$ il punto $C in RR^2$ e ${V_x,V_y}$ e ${W_x,W_y}$ i punti in $ZZ^2$. Basterà che prenda C=${pi,e}$ e il gioco è fatto.
Per assurdo uguagliamo le due distanze:
$sqrt((C_x-V_x)^2+(C_y-V_y)^2) = sqrt((C_x-W_x)^2+(C_y-W_y)^2)$
facendo due conti e raggruppando si ottiene
$2C_x(V_x-W_x)+2C_y(V_y-W_y) = W_x^2 + W_y^2 - V_x^2 - V_y^2$
Come si può notare a destra dell'uguaglianza avremo certamente un numero intero mentre a sinistra avremo un numero reale.

[carlo23]

Semplifico il problema dimostrando che esiste un punto $C in RR^2$ (il centro della circonferenza) tale che non esistano due punti in $ZZ^2$ tale che sia uguale la loro distanza da C.

esattamente questo il succo del problema, giusto per completezza avresti potuto dire che in tal modo al crescere di $r$ entra un punto per volta nella circonferenza di raggio $r$ centrata nel punto $C$.

Tutto giusto, bravo!