con un pò di fatica ho trovato qualcosina....
--convergenza puntuale:
- per verifica diretta la successione $u_n=f_n^(1/(2n))$ è crescente;
- usando il suggerimento per induzione si verifica che:
$x<u_m<2^((2^m-1)/2^m) x$
da cui, per ogni m, $x<u_n<2x$.
Essendo la successione crescente e limitata, possiede limite. In particolare la dis ci dice anche che:
$f(x)=x+O(x)$
-- seconda parte
$x^2+1=x^2(1+1/x^2)$
se applichiamo la relazione ricorsiva solo elevando al quadrato e maggiorando ponendo ad 1 gli altri fattori (in realtà sto elevando sempre alla seconda come nel suggerimento di ficus2002, ma partendo da $f_1$), si ottiene che:
$f_n(x)>=x^(2^n)(1+1/x^2)^(2^(n-1))$
da cui
$u_n(x)>=x(1+1/x^2)^((2^(n-1)/2^n)$
e visto che sappiano che $u_n$ converge passando al limite:
$f(x)>=x(1+1/x^2)^(1/2)$
da qui con uno sviluppo in serie di Taylor si dovrebbe cavar qualcosa, ma non mi escono i coefficienti corretti (questo non vuol dire nulla, infatti un coefficiente per essere utilizzabile dovrebbe comparire anche nella minorazione della f(x)... in effetti viene corretto solo il primo coefficiente...), quindi evito di postare...
L'obiettivo era seguire poi lo stesso procedimento per trovare una minorazione per $f(x)$ (ho una mezza idea di maggiorare un certo fattore con due) e poi magari raffinare le stime per trovare più precisione... ma mi interesserebbe sapere se è questa la via corretta, visto che ne ho provate altre rivelatesi fallimentari
ps: vinco un premio per l'ora in cui ho postato???