Problemino del Venerdi'

da **Mistral** » 20/02/2004, 13:38

Ok ok il titolo è un po' monotono si accettano suggerimenti...
Di questo so la soluzione:

Mostrare che comunque si scelgono nove numeri reali distinti, ce ne sono sempre due che chiamiamo a e b tali che:

0<(a-b)/(1+ab)<2^1/2-1

è meno difficile di quanto sembri a prima vista.
Ciao
Mistral

da **Valerio Capraro** » 20/02/2004, 14:44

io provo a darti la soluzione, anche se ho trovato delle conseguenze così belle che mi sembrano un pò strane; tuttavia la mia soluzione mi sembra corretta.
dunque:
se ho 9 reali qualsiasi distinti, poichè uno potrebbe essere lo 0, allora almeno 4 sono positivi, o almeno 4 sono negativi; ovvero o succede la prima o succede la seconda; all'interno della prima almeno due sono minori di uno o almeno due sono maggiori di 1; nel primo caso siano a e b tali due numeri minori di 1, con a>b;

allora, scritta la tesi (a-b)<(sqrt(2)-1)(1+ab), abbiamo che il primo membro è minore di 1, mentre il secondo è maggiore di 1, pertanto la diseguaglianza è verificata.

nel secondo caso, siano a e b i due numeri maggiori di 1, con a>b;

allora il primo membro è banalmente minore del secondo in quanto (a-b)<(1+ab), e l'altro fattore del secondo membro è maggiore di 1.

si verifica facilmente che, facendo la stessa distinzione nel caso che almeno quattro numeri siano negativi, la diseguaglianza di cui sopra resta comunque verificata da almeno due numeri.

bene, la dimostrazione mi sembra corretta.

le conseguenze cui ti accennavo è che dalla mia dimostrazione si deduce il seguente risultato:

comunque presi 6 reali distinti ve ne sono almeno due, detti a e b, per i quali vale la seguente diseguaglianza:

0 < (a-b)/(1+ab) < 1

carina no?

attendo pareri.
ciao, ubermensch

da **Mistral** » 20/02/2004, 16:31

<BLOCKQUOTE id=quote>citazione:<hr height=1 noshade id=quote>
se ho 9 reali qualsiasi distinti, poichè uno potrebbe essere lo 0, allora almeno 4 sono positivi, o almeno 4 sono negativi; ovvero o succede la prima o succede la seconda;
<hr height=1 noshade id=quote></BLOCKQUOTE id=quote>
Ok
<BLOCKQUOTE id=quote>citazione:<hr height=1 noshade id=quote>
all'interno della prima almeno due sono minori di uno o almeno due sono maggiori di 1;
<hr height=1 noshade id=quote></BLOCKQUOTE id=quote>
Ok
<BLOCKQUOTE id=quote>citazione:<hr height=1 noshade id=quote>
nel primo caso siano a e b tali due numeri minori di 1, con a>b;

allora, scritta la tesi (a-b)<(sqrt(2)-1)(1+ab), abbiamo che il primo membro è minore di 1, mentre il secondo è maggiore di 1, pertanto la diseguaglianza è verificata.
nel secondo caso, siano a e b i due numeri maggiori di 1, con a>b;
allora il primo membro è banalmente minore del secondo in quanto (a-b)<(1+ab), e l'altro fattore del secondo membro è maggiore di 1.
<hr height=1 noshade id=quote></BLOCKQUOTE id=quote>

Se ho capito bene il tuo modo di procedere direi che ha la seguente pecca:
se due numeri a,b verificano:
(a-b)<(sqrt(2)-1)(1+ab)
questo implica che verificano:
(a-b)<(1+ab)
purtroppo non vale il viceversa, quindi in tuo modo di procedere va bene per escludere che due numeri a,b verifichino
(a-b)<(sqrt(2)-1)(1+ab) ma non per verificarlo.

sqrt(2)-1<1

da **Valerio Capraro** » 20/02/2004, 16:56

cavolo!! non so perchè ma ero convinto che sqrt(2)-1>1!!!<img src=icon_smile_blush.gif border=0 align=middle>
ora mi rivedo il ragionamento e vedo se riesco a rimetterlo in piedi!

ciao, ubermensch

da **Mistral** » 21/02/2004, 16:24

<BLOCKQUOTE id=quote>citazione:<hr height=1 noshade id=quote>
Ok ok il titolo è un po' monotono si accettano suggerimenti...
Di questo so la soluzione:

Mostrare che comunque si scelgono nove numeri reali distinti, ce ne sono sempre due che chiamiamo a e b tali che:

0<(a-b)/(1+ab)<2^1/2-1

è meno difficile di quanto sembri a prima vista.
Ciao
Mistral

<hr height=1 noshade id=quote></BLOCKQUOTE id=quote>
Dimenticavo di dire appena me lo dite posto la soluzione :-)

da **n/a** » 21/02/2004, 16:43

Mistral, tu hai la tendenza all'off topic abbastanza marcata, quelli da te posti non sono giochi e non sono approfondimenti di una gara in corso... mi piace fare il paramoderatore:-)

da **Mistral** » 21/02/2004, 16:50

<BLOCKQUOTE id=quote>citazione:<hr height=1 noshade id=quote>
Mistral, tu hai la tendenza all'off topic abbastanza marcata, quelli da te posti non sono giochi e non sono approfondimenti di una gara in corso... mi piace fare il paramoderatore:-)

<hr height=1 noshade id=quote></BLOCKQUOTE id=quote>
gara? quale gara?

da **Valerio Capraro** » 21/02/2004, 17:04

caro mistral, a parte il fatto che non ho tempo in questi giorni per dedicarmi al problema da te posto, ma credo proprio che questa volta non so che pesci pigliare: sembra quasi che mi sfugga qualcosa; forse mi manca qualche conoscenza per arrivare alla "semplice" soluzione che tu dici...
bah...!

ciao, ubermensch

da **Mistral** » 21/02/2004, 17:14

<BLOCKQUOTE id=quote>citazione:<hr height=1 noshade id=quote>
caro mistral, a parte il fatto che non ho tempo in questi giorni per dedicarmi al problema da te posto, ma credo proprio che questa volta non so che pesci pigliare: sembra quasi che mi sfugga qualcosa; forse mi manca qualche conoscenza per arrivare alla "semplice" soluzione che tu dici...
bah...!

ciao, ubermensch

<hr height=1 noshade id=quote></BLOCKQUOTE id=quote>

Hai tutto il tempo che vuoi, la domanda era semplicemente dettata dal fatto che non conosco la disciplina del forum tutto quà. Alcune domande:

A)la definizione di gioco che puo' essere postato in questo forum?
B)chi puo' proporre giochi?
C)e buona regola dare le soluzioni dei "giochi"? se si quando?

poi se per fare domande sconfino nell'off topic scusate in fondo ho meno di 50 post :-)

.

Ciao

Mistral

da **WonderP** » 21/02/2004, 17:32

Nessun problema.

A)la definizione di gioco che può essere postato in questo forum?
Ritengo qualsiasi gioco logico-matematico o curioso

B)chi può proporre giochi?
tutti

C)e buona regola dare le soluzioni dei "giochi"? se si quando?
Di solito ho visto che bene o male i quesiti vengono seguiti da alcuni interessati che giungono alla soluzione o la richiedono quando hanno esaurito le idee. Meglio, prima di dare la risposta, dare dei suggerimenti, dei piccoli aiuti.

WonderP.

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