Domanda teoria dei numeri

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Domanda-problema che mi sono posto e a cui non so rispondere. Sia $p$ un primo e $a(x)=1+x+x^2+....+x^(p-1)$. Esiste sempre un $n\in ZZ$ tale che $a(n)$ e' primo?

[carlo23]

Domanda-problema che mi sono posto e a cui non so rispondere. Sia $p$ un primo e $a(x)=1+x+x^2+....+x^(p-1)$. Esiste sempre un $n\in ZZ$ tale che $a(n)$ e' primo?

Non credo affatto che la risposta sia elementare anzi, non sono sicuro se sia stato trovato un risultato esatto al riguardo.

Posso dirti che un primo $q$ tale che $q|x^p-1$ e non $q|x-1$ richiede che $ord_q(x) neq 1$ e $ord_q(x)|p$ e $ord_q(x)|q-1$ ovvero che $p|q-1$.

[DavidHilbert]

Domanda-problema che mi sono posto e a cui non so rispondere. Sia $p$ un primo e $a(x)=1+x+x^2+....+x^(p-1)$. Esiste sempre un $n\in ZZ$ tale che $a(n)$ e' primo?

E' correlato ad un famoso problema aperto della teoria dei numeri, per cui...

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Ok, grazie, in effetti inizialmente speravo che gli interi ciclotomici potessero fornire una risposta, ma poi cercando non ho trovato nulla... e mi è venuto il sospetto che il problema non fosse elementare.

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E se ponessi la seguente domanda? Esiste un polinomio $p(x)$ non costante a coefficienti interi primi fra loro e irriducibile in $ZZ[x]$ tale che non esiste $n\in ZZ$ tale che $p(n)$ e' primo?

[erasmo]

ma la risposta al quesito originale non e' banalmente si'? basta prendere $x = 1$ o mi sbaglio?