Un po' di congruenze

[luca.barletta]

Cominciamo con l'osservare che se $a-=a'(mod2)$ e $b-=b'(mod2)$ allora $ab-=a'b'(mod2)$, quindi, data la simmetria della formula, basterà mostrare che $\frac{m-1}2-=\sum_{i=1}^rk_i\(p_i-1)/2(\mod2)$.
Si procede con un'induzione su $r$, per $r=1$ è già stato dimostrato in precedenza, ora dimostriamolo per r+1:
$(p_(r+1)^(k_(r+1))prod_(i=1)^rp_i^(k_i)-1)/2=(p_(r+1)^(k_(r+1))prod_(i=1)^rp_i^(k_i)-1+p_(r+1)^(k_(r+1))-p_(r+1)^(k_(r+1)))/2=$
$=(p_(r+1)^(k_(r+1))(prod_(i=1)^rp_i^(k_i)-1))/2+(p_(r+1)^(k_(r+1))-1)/2-=sum_{i=1}^rk_i\(p_i-1)/2+k_(r+1)(p_(r+1)-1)/2 (mod2)-=sum_{i=1}^(r+1)k_i\(p_i-1)/2 (mod2)$

EDIT: immagino che p=2 fosse da contemplare, o sbaglio?

[karl]

Sono un po' arruginito sulle congruenze e mi chiedevo se
sono possibili anche tra numeri non interi.Come ,per esempio,
avverrebbe se in quella che hai proposto,m ed n (od anche
uno solo di essi) fossero (fosse) pari.
karl

[TomSawyer]

Devo trovare una non dimostrabile per induzione, luca .
$m$ ed $n$ devono essere dispari e coprimi; avevo in mente di scriverlo, ma me lo sono dimenticato .

In teoria si potrebbe scrivere una congruenza anche tra numeri razionali, ma essa assume senso quando i termini sono espressi in interi.