tanti $|x_i-x_j|$

[carlo23]

Fissato un intero $n>0$ siano $x_1,x_2...x_n$ dei numeri reali e $y_1,y_2...y_n$ una loro permutazione tale che $y_1<=y_2<=...<=y_n$. Dimostrare che

$sum_{j<i<=n} |x_i-x_j| = sum_{i<=n} (2i - n - 1)y_i$

[TomSawyer]

Allora, si chiede di dimostrare che $\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n|x_j-x_i|=\sum_{i=1}^n(2i-n-1)y_i$. Ora osserviamo che $\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n|x_j-x_i|=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n(y_j-y_i)$.
Procedo per induzione su $n$. Per $n=1$ e' vera, quindi supponiamo sia vera per $n-1$. $\sum_{i=1}^{n-2}\sum_{j=i+1}^{n-1}(y_j-y_i)=\sum_{i=1}^{n-1}(2i-n+1-1)y_i$. Sommiamo $\sum_{i=1}^{n-1}(y_n-y_i}$ a entrambi i membri dell'ultima equazione, allora si avra' $\sum_{i=1}^{n-2}\sum_{j=i+1}^{n-1}(y_j-y_i)+\sum_{i=1}^{n-1}(y_n-y_i)=\sum_{i=1}^{n-1}(2i-n)y_i+\sum_{i=1}^{n-1}(y_n-y_i}$, e $\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n(y_j-y_i)=\sum_{i=1}^{n-1}(2i-n-1)y_i+(n-1)y_n=\sum_{i=1}^n(2i-n-1)y_i$.