144... inifinti o finiti quadrati perfetti

[carlo23]

Abbiamo $144=12^2$ e anche $1444=38^2$, mentre $14444$ non è un quadrato perfetto.
Dimostrare se o se non esistono infiniti quadrati perfetti nella forma $144...4$.

[Bruno]

Se indichiamo con a il numero dei quattro
che compongono questi particolari interi,
il problema si può tradurre nella relazione:

13·10ª-4 = 

dove 13·10ª-4 = 9x144···4 (con il 4 ripetuto
a volte, appunto).
Vediamo, in effetti, che:

- per a = 1, 130-4 = 126, che non è un ;
- per a = 2, 1300-4 = 1296 = 36²;
- per a = 3, 13000-4 = 12996 = 114².

Per a > 3, 13·10ª è senz'altro divisibile per 16,
quindi 13·10ª-4 è un intero del tipo 4·(4h-1),
che non può essere mai un quadrato.

Non esistono, dunque, infiniti quadrati di quella
forma.

(Salvo sviste.)

[carlo23]

è un intero del tipo 4·(4h-1),
che non può essere mai un quadrato.

So che non è difficile ma sarebbe meglio spiegassi il motivo.

[Bruno]

è un intero del tipo 4·(4h-1),
che non può essere mai un quadrato.

So che non è difficile ma sarebbe meglio spiegassi il motivo.

Va bene, Carlo, rispondo alla tua richiesta
Se 2²·(4h-1) fosse un quadrato, dovrebbe
esserlo anche 4h-1. Questo porterebbe a
stabilire che sia 4h-1 = (2k+1)², per un
k intero. D'altra parte, sappiamo che
(2k+1)² = 4k(k+1)+1, pertanto non può
avere la forma 4h-1.

[Ho evitato di ricorrere esplicitamente alle
congruenze perché non posso usare i
vostri simboli. Penso, comunque, di aver
chiarito lo stesso il concetto.]

[carlo23]

Penso, comunque, di aver
chiarito lo stesso il concetto.]

Certamente, con le congruenze sarebbe bastato dire $0^2,1^2,2^2,3^2 -= 0,1,0,1 mod 4$

[Aethelmyth]

Se indichiamo con a il numero dei quattro
che compongono questi particolari interi,
il problema si può tradurre nella relazione:

13·10ª-4 = 

dove 13·10ª-4 = 9x144···4 (con il 4 ripetuto
a volte, appunto).
Vediamo, in effetti, che:

- per a = 1, 130-4 = 126, che non è un ;
- per a = 2, 1300-4 = 1296 = 36²;
- per a = 3, 13000-4 = 12996 = 114².

Per a > 3, 13·10ª è senz'altro divisibile per 16,
quindi 13·10ª-4 è un intero del tipo 4·(4h-1),
che non può essere mai un quadrato.

Non esistono, dunque, infiniti quadrati di quella
forma.

(Salvo sviste.)

Non ho capito bene l'inizio, come fai a tradurre il problema in quel modo

[TomSawyer]

$13*10^a-4 = 9x144\cdots4$, e' questo il punto fondamentale.