Irrazionalità

[Steven]

Ciao a tutti, mi serve un'informazione di tipo qualitativo.
Quando mi trovo a dover dimostrare l'irrazionalità di un valore, ho visto su wikipedia che in genere procede per assurdo.
Come esempi portava $sqrt2$ e $log_2 3$, poi si afferma che allora il valore (supposto razionale) potrebbe essere espresso come una frazione irriducibile.... ecc ecc fino all'assurdo.
Ora vi chiedo: l'assurdo è l'unico modo, o comunque il più usato, per dimostrare una presunta irrazionalità?
E ci sono modi per dimostrare l'irrazionalità di una funzione goniometrica di un angolo, che so, $sin4°$?
Grazie in anticipo a tutti, ciao.

[giuseppe87x]

L'assurdo è il metodo più utilizzato. In generale si può dimostrare per assurdo ad esempio che $rootna$ o $log_(b)a$ sono o interi o irrazionali. Mi hanno detto però che esistono risultati di teoria algebrica dei numeri in base ai quali si può dedurre la irrazionalità e/o la trascendenza di certi numeri reali.

[Aethelmyth]

Non basta la sezione di Dedekind vero? Ti serve, in pratica, di dimostrare che $sqrt2$ ha un numero infinito di cifre dopo la virgola?

[Camillo]

Dimostri, per assurdo che $sqrt(2)$ non può essere espresso come numero razionale , cioè del tipo $m/n$ con $m,n AA NN $.

[Steven]

Non basta la sezione di Dedekind vero? Ti serve, in pratica, di dimostrare che $sqrt2$ ha un numero infinito di cifre dopo la virgola?

Non conosco la sezione di Dedekind... comunque adesso mi ponevo il problema di stabilire se un numero è irrazionale o meno, non se ha infinite cifre dopo la virgola.

Per valori del tipo $sin7°$ sapete dirmi qualcosa?
Grazie, buona serata

[Aethelmyth]

Supponiamo $sqrt2=p/q$ con $p/q$ ridotta ai minimi termini. Allora $p$ e $q$ dovranno essere necessariamente entrambi dispari o uno pari e uno dispari. Se quadriamo otteniamo $p^2=2q^2$ quindi $p^2$ è pari, ma se $p^2$ è pari allora lo è anche $p$. Scriviamo quindi $p=2n$. Sostituendo alla precedente equazione avremo $(2n)^2=2q^2$ => $q^2=2n^2$ quindi anche $q^2$ è pari e di conseguenza lo è anche $q$. Assurdo . In questo modo xo ho solo dimostrato che $sqrt2$ non è razionale. Per le funzioni goniometriche mi sembra di ricordare qlkosa, ma ci devo pensare.

[elgiovo]

Per la trascendenza si usa il teorema di Liouville.

[Thomas]

prima o poi me la rileggerò... ricordo che una volta me la ricordavo... l'avevo anche "raccontata" in treno... ora però chi se la ricorda più?

https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=11979

[fields]

Tanto per variare:

Consideriamo il polinomio $x^2-2$. Per il criterio di irriducibilita' di Eisenstein esso e' irriducibile in $QQ[x]$, e dunque non puo' aver una radice in $QQ$: conseguentemente $sqrt2\notin QQ$.

[TomSawyer]

Come esempi portava $sqrt2$ e $log_2 3$

O ancora: Se $\sqrt2=a/b$, con $\gcd(a,b)=1$, allora $a^2=2b^2$, cioe' $p|a$, per ogni fattore primo $p$ di $b$, assurdo; quindi $b=1$, ma chiaramente anche questo e' assurdo.

Questo approccio puo' essere usato per dimostrare che $root(m)N$ e' irrazionale, a meno che $N$ non sia l'$m$-esima potenza di un intero $n$.

Per $log_2 3$, basta osservare che se $\log_2 3=a/b$, si avrebbe $3^b=2^a$. Piu' generalmente, $log_m n$ e' irrazionale, se $m$ e $n$ sono interi, ed uno dei due ha un fattore primo che l'altro non ha.

Esistono anche delle belle prove geometriche per dimostrare che $\sqrt5$, per esempio, e' irrazionale.