$int_0^(2pi) e^(cos theta) cos [sin theta]d theta$

[elgiovo]

Calcolare, senza passare per la primitiva, $int_0^(2pi) e^(cos theta) cos [sin theta]d theta$.

[Tipper]

C'entra il fatto che la funzione è periodica di periodo $2 \pi$ ed è pari?

[elgiovo]

Per come l'ho risolto io no, non c'entra.

[Piera]

Utilizzando la formula integrale di Cauchy si ha
$int_(|z|=1)e^z/zdz=2pii$.
Il precedente integrale, tenendo conto che $z=e^(itheta)$ e che $0<=theta<=2pi$, può essere riscritto come
$int_0^(2pi)e^(e^(itheta))*i*d theta=2pii$.
Applicando la formula di Eulero si ottiene
$int_0^(2pi)e^costheta*cos(sentheta)d theta + i*int_0^(2pi)e^costheta* sen(sentheta)d theta=2pi$
da cui
$int_0^(2pi)e^costheta*cos(sentheta)d theta=2pi$.

[elgiovo]

Bene.