n interi scelti a caso

[TomSawyer]

Uno carino e facile: dimostrare che comunque scelti $n$ interi positivi, ne esistono alcuni (o tutti) la cui somma è divisibile per $n$.

[vl4d]

Proviamo,

Siano $n_1, n_2, ..., n_n$ gli $n$ numeri positivi. Indico con $[\cdot]_{n}$ la classe di resto,
iniziamo a considerare le $[sum_{i=1}^{n-k}n_i]_n$, per $k=0,1,...,n-1$.
Se una di queste e' uguale a $[0]_n$, allora abbiamo finito.
Altrimenti, restano a disposizione $n-1$ classi di resto.
Allora dato che le somme sono $n$ ($k$ puo' assumere $n$ valori), per il pigeonhole esitono $k_1 < k_2$ tali che
$[sum_{i=1}^{n-k_1}n_i]_n = [sum_{i=1}^{n-k_2}n_i]_n$.
Segue che $[sum_{i=1}^{n-k_1}n_i - sum_{i=1}^{n-k_2}n_i]_n = [sum_{i=k_2+1}^{n-k_1}n_i]_n = [0]_n$

[TomSawyer]

Bene. Gli interi la cui somma è divisibile per $n$ sono anche consecutivi nella sequenza $n_1\le n_2 \le \ldots \le n_n$, naturalmente.