Pari o dispari?

[TomSawyer]

Determinare se $N=[\frac{2002!}{2001\cdot2003}]$ e' pari o dispari, dove $[\cdot]$ e' la funzione pavimento.

[deggianna]

cosa significa funzione pavimento?

[TomSawyer]

http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_pavimento

Cercando, a volte, si trova.

[deggianna]

scusami...di solito la chiamavo in un altro modo!

[fields]

Determinare se $N=[\frac{2002!}{2001\cdot2003}]$ e' pari o dispari, dove $[\cdot]$ e' la funzione pavimento.

$2003$ e' primo. Dunque, per il teorema di Wilson, $2002"!"=2002 (mod 2003)$. Possiamo scrivere allora $2002"!"=2003n+2002$, per qualche $n\in NN$. Dunque $n=\frac{2002(2001!-1)}{2003}$.

Calcoliamo ora $n$ modulo $2001$. Per fare questo abbiamo bisogno di trovare l'inverso di $2003$ modulo $2001$. Con l'algoritmo di euclide otteniamo che $2003^(-1)=1001 (mod 2001)$. Dunque, ragionando modulo $2001$, abbiamo che $n=\frac{2002(2001!-1)}{2003}=2002(2001!-1)2003^(-1)=1\cdot (-1)\cdot 1001=-1001=1000 (mod 2001)$. Possiamo scrivere allora $n=2001q+1000$, per qualche $q\in NN$. Poiche' $n$ e' pari, inoltre, $q$ e' pari.

Dunque, $\frac{2002!}{2001\cdot 2003}=\frac{(2003n+2002)}{2001\cdot 2003}=(n+2002/2003)\frac{1}{2001}=(2001q+1000+2002/2003)\frac{1}{2001}=q+1000/2001+2002/(2003\cdot 2001)=q+1002/2003$.

Dunque $N=q$ e' pari.

ps: scusate se ho risposto a un problema facile, ma la lezione qui all'universita' e' noiosa e dunque mi sono un po' trastullato nei calcoli

[TomSawyer]

Sempre preciso e perfetto. Avresti potuto accorciare la dimostrazione, osservando che $2001\cdot1001 \equiv 1 (mod2003) => (2002!)/(2001) \equiv 2002!\cdot1001 \equiv -1001 (mod2003)$, quindi $\frac{2002!}{2001}=k\cdot2003-1001$, con $k$ dispari; e dividendo tutto per $2003$, si ha $\frac{2002!}{2001\cdot2003}=k-\frac{1001}{2003} => N = k-1$, cioè $N$ pari.

PS: cosa e dove studi all'università?

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PS: cosa e dove studi all'università?

Computer science, Verona. Però preferisco la matematica pura, e infatti la lezione che mi annoiava era sull'ingegneria del software

[TomSawyer]

A me mancano un paio d'anni per fare quel corso, ma se mi dici che non e' molto divertente, allora non lo aspetto con ansia.

[needmathhelp]

tu che studi crook? x curiosità

[TomSawyer]

Informatica, I anno.