Semplice ma carino

[TomSawyer]

Questa fonte piu' che attendibile dice che il primo e' $1$
http://mathworld.wolfram.com/TriangularNumber.html

Quindi, immagino fosse da specificare questo fatto di convenienza.
Comunque, problema carino, ciao.

[Bruno]

Ma certo, Crook: come ho detto,
lo zero non viene generalmente
incluso e Mathworld va in questa
direzione. Come molti altri testi
che anch'io ho letto.

Sicuramente non sono in grado
di stabilire una graduatoria di
attendibilità. Penso, però, che sia
sempre importante non discutere
per partito preso ed è con questo
spirito che ho proposto il link al
professor Cerruti, ritenendolo (lo
dico senza timore di essere smentito)
spesso istruttivo e illuminante.

La prova che ho trovato io del
teorema di Serra, d'altra parte,
includendo con naturalezza lo zero,
non mi ha fatto riconoscere subito
la necessità del chiarimento visto
sopra.
Con la curiosità e la voglia di capire,
tuttavia, le cose si chiariscono
sempre, alla fine

[TomSawyer]

Il mio tono non era polemico, tutt'altro. Pero' e' sempre meglio precisare bene, come ben sai; certo, la prova non ti avra' fatto capire subito la necessita' del chiarimento, ma uno che prova a verificarlo per 3+6, si ritrova spiazzato. Ciao .

[TomSawyer]

Vabbe', posto la mia semplice soluzione:
L'implicazione verso destra: avendo la somma di due numeri triangolari $(x(x+1))/2+((x+k)(x+k+1))/2$ (1), ci sono due casi:
(i) se $k$ pari, allora scriviamo la (1) cosi' $(k/2)^2+(x+k/2)(x+k/2+1)$, e abbiamo chiaramente la somma tra un quadrato e il doppio di un triangolare;
(ii) se $k$ dispari, allora scriviamo la (1) cosi' $(x+(k+1)/2)^2+(k-1)/2(k+1)/2$, ed anche in questo caso siamo a posto.

Ora l'implicazione verso sinistra: data la somma di un quadrato perfetto e il doppio di un triangolare, $n^2+m(m+1)$, ci sono anche qui due casi:
(i) se $n^2>m(m+1)$, allora basta porre $m=(k-1)/2$ e $n=x+m+1=x+(k+1)/2$ e sviluppando come sopra, siamo a posto;
(ii) se $n^2<m(m+1)$, allora si pone $n=k/2$ e $m=x+n=x+k/2$, e, sviluppando, abbiamo finito.

[karl]

Io avevo trovato due identita' ma crook mi ha bruciato.
Comunque ,a titolo di curiosita', le riporto:
1)per m ed n con la stessa parita' (ed $n>=m$):
$(m(m+1))/2+(n(n+1))/2=((m+n)/2)((m+n)/2+1) +((n-m)/2)^2$
2) per m ed n con parita' diversa ( ed $n>=m+1$):
$(m(m+1))/2+(n(n+1))/2=[(n-(m+1))/2]*[(n-(m+1))/2+1]+((m+n+1)/2)^2$
karl

[Bruno]

Ottimo, Crook
Ottimo anche a Karl, che saluto

Il mio tono non era polemico, tutt'altro.

Hai fatto benissimo a spiegarti, Crook,
perché in realtà ho avuto qualche
nanodubbio.
Grazie

La mia strada coincide con quella di
Karl, avendo sintetizzato il tutto in due
identità, e ci sono arrivato attraverso
un'altra identità che a me piace molto,
questa:

4[½m(m+1)+½n(n+1)]+1 = (m+n+1)²+(m-n)²,

con la quale, peraltro, si può rispondere
agevolmente anche a questo problema.

Ciao a tutti!